4.1.Лінійні однорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Рівняння

(19)

де - дійсні числа,називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням n-го порядку із сталим коефіцієнтами.

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(20)

де p, q – дійсні числа.

Характеристичне рівняння по відношенню до цього рівняння має вигляд:

(21)

Загальний розв'язок диференціального рівняння (20) залежить від вигляду коренів характеристичного рівняння (21):

(22)

Маємо три випадки значень

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні (D > 0). Тоді загальний розв'язок диференціального рівняння (20) приймає вигляд

(23)

Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні (D=0),

Тоді (24)

Корені характеристичного рівняння комплексні

Приклад 10. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Складаємо відповідне характеристичне рівняння:

Знаходимо його корені за формулою (22):

Маємо третій випадок (корені комплексні,

Загальний розв'язок рівняння

4.2.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Загальний вигляд цього рівняння

(27)

де p,q- числа.

Розв'язок цього рівняння можна знаходити двома способами:

• методом невизначених коефіцієнтів;

• методом варіації довільних сталих.

Якщо права частина рівняння (27), функція (х), є комбінацією раціона­льної, показникові або тригонометричних функції sinx і cosx, доцільно за­стосувати метод невизначених коефіцієнтів.

4.2.1.Метод невизначених коефіцієнтів

Згідно з цим методом загальний розв'язок рівняння (27) шукають у вигляді

(28)

де у_од - загальний розв'язок відповідного однорідного диференціального рі­вняння (залежить від коренів характеристичного рівняння),

у * - частинний розв'язок рівняння (27), який визначається функцією . Розглянемо наступні вирази правої частини рівняння (27):

де а, A_i (і - 0,1,2,... п) - дійсні відомі числа.

У цьому випадку частинний розв'язок у * шукають у вигляді

(29)

де невизначені коефіцієнти; значення показника степеня г знаходять шляхом зіставлення показника а з коренями і характеристи­чного рівняння згідно з наступним правилом:

(30)

Для знаходження невідомих коефіцієнтів B_i вираз (29) двічі послідовно диференціюємо і отримані значення у*, y*’, у *’’підставляємо у рівняння (27) замість у, y’ , у’’ . Після скорочення на е^ax отримаємо рівність многочленів степеня п.

Прирівнюючи коефіцієнти з однаковими степенями х, або надаючи х певних значень, дістаємо систему п + 1 лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначаємо значення коефіцієнтів B_i.

У випадку, коли (х) = Р_n (х), значення а = 0.

Функція , де А, В, γ - дійсні відомі числа.

Частинний розв'язок шукають у вигляді

(31)

де М, N - невідомі коефіцієнти. Значення r визначають шляхом порівняння γ з коренями характеристичного рівняння:

Далі вираз (31) підставляють у задане рівняння і, прирівнюючи коефіціє­нти при однакових тригонометричних функціях у отриманої рівності, розв'я­зують систему двох лінійних рівнянь відносно М і N .

Зауваження. Якщо А або В дорівнюють нулю, то у * все одно шукаємо у вигляді (31).

Права частина рівняння (27) має вигляд (загальний випадок)

де многочлен степеня п; - многочлен степеня т;

а і - дійсні числа.

Частинний розв'язок у цьому випадку треба шукати у вигляді

(32)

де Q_s(х) і L_s(х) - многочлени степеня s з невизначеними коефіцієнтами,

s - найвищий степінь многочленів R_m{x) і P_п(х), тобто s = max(n,m); значення r визначають за правилом

Зауваження. Шукані многочлени Q_n(x), Q_s(х), L_х(x) у формулах (29) і (32) мають бути повними, тобто містити всі степені х від 0 до п, незалежно від того, чи повним є заданий многочлен P_п (x) і R_т (х).

Якщо права частина рівняння (27) є сумою декількох вказаних за струк­турою функцій, то треба шукати частинні розв'язки для кожної функції, а потім їх додавати. Наприклад, якщо — частинний розв'язок рівняння а у₂ - частинний розв'язок рівняння то сума є частинним розв'язком рівняння