2.4.Рівняння Бернуллі

Нелінійне диференціальне рівняння першого порядку, яке має вигляд

(18)

де n ≠ 0; n ≠ 1, називається рівнянням Бернуллі (ліва частина цього рівняння збігається з лівою частиною лінійного рівняння). Рівняння Бернуллі за допо­могою заміни перетворюється до лінійного рівняння відносно функції z(х). Але на практиці доцільно це рівняння зразу розв'язувати за до­помогою заміни (14).

Приклади розв'язування диференціальних рівнянь першого порядку

Приклад 1. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Визначаємо, що маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними(нагадує вираз(7)). Зводимо рівняння до вигляду (6):

Інтегруємо отриману рівність:

У цьому прикладі доцільно було довільно сталу С замінити на .

Далі отримуємо ,звідки загальний розв'язок приймає вигляд

Приклад 2. Знайти частинний розв'язок рівняння коли .

Розв'язування. Маємо рівняння з відокремлюваними змінними. Ділимо рівняння на ,отримуємо .

Інтегруємо цей вираз і визначаємо:

Підставляємо початкову умову в отриманий загальний розв'язок:

C = 2.

Частинний розв'язок приймає вигляд

Приклад 3. Розв'язати рівняння

Розв'язування. Шляхом ділення рівняння на змінну х отримуємо однорідне ди­ференціальне рівняння (похідна залежить від відношення ):

Робимо заміну:

Підставляємо ці значення у задане рівняння і розв'язуємо отримане диференці­альне рівняння з відокремлюваними змінними:

Отримали загальний інтеграл рівняння.

Звідси — загальний розв'язок.

Приклад 4. Знайти загальний розв'язок рівняння

Розв'язування. Визначаємо, що маємо лінійне диференціальне рівняння (13). Робимо заміну

Після підстановки отримуємо:

Послідовно розв'язуємо наступні два рівняння:

1) 2)

Загальний розв'язок рівняння:

Приклад 5. Знайти розв’язок задачі Коші

Розв'язування. Поділивши обидві частини рівняння на добуток , отри­муємо лінійне диференціальне рівняння:

Робимо заміну:

Маємо

1) 2)

Загальний розв'язок:

Знайдемо значення сталої C, при якому частинний розв'язок задовольняє поча­ткову умову:

Частинний розв’язок:

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв'язування. Враховуючи ,що рівняння приводимо до (12):

Визначаємо, що

Знаходимо точку перетину прямих:

Маємо

Робимо заміну

Тоді і задане рівняння приймає вигляд

Отримали однорідне диференціальне рівняння. Покладаємо:

Розв'язуємо отримане рівняння з відокремлюваними змінними:

Підставляючи значення t,x₁,y₁ дістаємо загальний розв'язок рівняння:

3.Диференціальні рівняння вищих порядків метод зниження порядку

3.1.Рівняння y⁽ⁿ⁾ = (x)розв'язується шляхом інтегрування п разів по­слідовно:

3.2.Рівняння ,тобто рівняння другого порядку, яке не має змінної y, розв'язують шляхом зниження його порядку за допомогою заміни .Отримуємо рівняння першого порядку відносно змін­них р і х. Знаходимо його розв'язок і потім шукану функцію у(х) шляхом його інтегрування:

.

3.3.Рівняння другого порядку, в якому відсутня змінна х, тобто рів­няння по аналогії розв'язують за допомогою заміни:

Приклад 7. Знайти загальний розв'язок рівняння у^m - х- sin2x.

Розв'язування. Маємо рівняння третього порядку, яке приводимо до вигляду і потім тричі послідовно інтегруємо:

Приклад 8. Розв'язати рівняння

Розв’язування. Це рівняння другого порядку, в якому відсутня змінна у . Зни­жуємо його порядок за допомогою підстановки y' = р(х); у" = р’(х). Одержуємо лі­нійне рівняння

Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді p = u - v.

1) 2)

Повертаючись до змінної у, отримуємо рівняння

Його розв'язок після інтегрування:

Приклад 9. Знайти частинний розв'язок рівняння , який задо­вольняє умовам: y(0) = 1; y’(0) = -1.

Розв'язування. Рівняння другого порядку, яке не має змінної х. Поклавши після підстановки дістанемо диференціальне рівняння з відо­кремлюваними змінними

1) 2)

Знайшли загальний розв'язок рівняння. Для знаходження частинного розв'язку треба визначити значення С₁ і С₂ на основі початкових умов. Маємо:

Частинний розв'язок рівняння приймає вигляд