2.2.Однорідні рівняння

Функція f(x; у) називається однорідною п -го виміру, якщо має місце то­тожність при будь-якому значенні λ :

f(λx,λy) = λn · f(x,y)

Наприклад, функція є однорідною нульового виміру, тому що

Рівняння у’ = f{x,у) є однорідним диференціальним рівнянням пер­шого порядку, якщо f(х,у) - однорідна функція нульового виміру.

Довільне однорідне диференціальне рівняння можна перетворити до ви­разу тобто похідну визначити як функцію відношення змінних

(9)

Однорідні диференціальні рівняння розв'язують за допомогою заміни

, (10)

звідки

y = u · x; y’ = u’ · x +u. (11)

Вирази (11) підставляють у рівність (9) і отримують рівняння з відокрем­люваними змінними відносно и(х) і x.

Рівняння вигляду M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 буде однорідним, якщо М(x,у) і N(x,y) - однорідні функції однакового виміру, наприклад:

(2х + 3y)dx + (х - 2y)dy = 0,

(х² + у² )dx - 2xydy.

До однорідного диференціального рівняння зводиться рівняння, яке має вигляд:

y’ ) (12)

Якщо a₁b₂ – a₂b₁ = 0 ,рівність (12) перетворюють до однорідного рівняння (9) за допомогою заміни x= x₁ + α; y₁ + β, де (α,β) – точка перетину прямих і a₁x + b₁y + c₁ = 0 і a₂x + b₂y + c₂ = 0.

Коли a₁b₂ – a₂b₁ = 0 , то підстановка a₁x + b₁y = t дозволяє отримати рівняння з відокремлюваними змінними.

2.3.Лінійні диференціальні рівняння

Рівняння

y’ + p(x) · y = q(x), (13)

в якому невідома функція у і її похідна y’ входять до рівняння у першому степеню і не множаться між собою, називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Розв'язок у(х) цього рівняння шукають у вигляді добутку двох невідомих функцій и(х) і v(x), тобто

y = u · v. (14)

Тоді похідна функції приймає вигляд

(15)

Значення у(х) і y’ підставляють у рівняння (13) і отримують вираз:

(16)

або (17)

Функцію v визначають із умови, що вираз в дужках дорівнює нулю, тобто розв'язують рівняння, яке буде завжди з відокремлюваними змінними:

v + p(x)v = 0;

(C = 0).

Потім значення v підставляють у рівняння і з отриманого диференціального рівняння теж з відокремлюваними змінними знаходять загальний розв'я­зок Значення V і и підставляють у рівність (14) і визначають загаль­ний розв'язок лінійного диференціального рівняння.