1.Загальні означення

Рівняння, які містять незалежну змінну, функцію та її похідні різних по­рядків, називаються диференціальними рівняннями. Порядок диференціаль­ного рівняння визначається порядком вищої похідної, яка входить до рівнян­ня. Диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд:

F(x,y,y’,y”,…,y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Процес розв’язування диференціального рівняння називається його інте­груванням. Загальним розв’язком диференціального рівняння (1) є функція:

y = f(x,C_hC₂,...,C_n), (2)

яка перетворює рівняння у тотожність і має стільки довільних сталих С¹,С²,...,С_n ,який порядок рівняння.

Частинним розв’язком диференціального рівняння називається функція у = φ(x),яку отримують із загального розв'язку (2) шляхом надання сталим С_i(i = 1,2,…,n) певних значень.

Задача Коші - знаходження частинного розв'язку рівняння (1), який за­довольняє початкові умови:

y(x₀) = y₀; y’(x₀) = y’₀; …; y^(n-1)(x₀) = y₀^(n-1) (3)

2.Диференціальні рівняння першого порядку

Загальний вигляд диференціального рівняння першого порядку:

F(x,y,y') = 0 (4)

або

y' = f(x,y). (5)

Функція у = φ(х,С), яка залежить від аргументу х, довільної сталої С і перетворює рівняння (4) у тотожність, називається загальним розв’язком диференціального рівняння. Якщо загальний розв'язок знайдено у вигляді F(x,y,C) = 0, то цей вираз називається загальним інтегралом рівняння.

Не всі диференціальні рівняння мають розв'язок, який можливо виразити через елементарні функції. Розглянемо типи диференціальних рівнянь пер­шого порядку, які можна інтегрувати, тобто знайти їх розв'язки.

2.1.Диференціальні рівняння з відокремленими і відокремлюваними змінними

Рівняння, яке має вигляд

φ(y)dy = f (x)dx, (6)

тобто перед диференціалами знаходяться функції, які залежать тільки від відповідної змінної, називається диференціальним рівнянням з відокремле­ними змінними.

Шляхом інтегрування рівності (6) отримують загальний інтеграл рівняння:

∫φ(y)dy = ∫ f(x)dx + C.

При можливості з отриманого виразу знаходять загальний розв'язок y = φ(x,C).

Рівняння

M₁(x) · N₁(y)dx + M₂(x) · N₂(y)dy = 0,

y’ = M(x) · N(y) (7)

називають рівняннями з відокремлюваними змінними. За допомогою тото­жних перетворень вони зводяться до диференціальних рівнянь з відокремле­ними змінними (треба пам'ятати, що ):

,

(8)