1. Правило Верещагина

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул, в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

В 1924 г. А. К. Верещагин предложил более простой способ вычисления интеграла Мора:

Проанализируем подынтегральное выражение

Так как единичная нагрузка бывает обычно сосредоточенной силой или парой сил, то эпюра от единичной нагрузки всегда ограничена прямой линией. Тогда вычисление при любом очертании эпюры моментов от внешних сил можно производить следующим образом.

Рис. 1.

Пусть эпюра М имеет криволиней­ное очертание (рис. 1, а), а эпюра от единичной силы

- прямолинейное (рис. 1, б).

Произведение можно рассматривать как элементарную площадь эпюры

Ордината эпюры в этом же сечении равна

а произведение

Тогда весь интеграл

представляет собой статический момент площади эпюры М относительно прямой АВ, умноженной на tg α. Но статический момент можно представить как

Но произведение - ордината на эпюре моментов от единичной силы под центром тяжести эпюры М.

Тогда интеграл принимает вид

В конечном счете интеграл Мора запишется в виде

Формула представляет собой математическое выражение правила Верещагина:

каждое из слагаемых, входящих в интеграл Мора, равно произведению площади  нелинейной эпюры изгибающих моментов на ординату М⁰_с линейной эпюры под центром тяжести нелинейной, деленному на жесткость сечения ЕJ_х данного участка упругой системы.

Для определения перемещения по способу Верещагина необходимо знать площадь эпюры моментов от внешней нагрузки и найти положение ее центра тяже­сти. Если эпюра моментов имеет сложную конфигурацию, то ее разбивают на простые площади и находят положение центров тяжести для каждой площади. Строится эпюра моментов от единичной силы или единичного момента, в зависимости от того, определяется у или Q.

Под центром тяжести эпюр моментов от внешней нагрузки берутся ординаты на эпюре моментов от единичных силовых факторов. Сумма произведении отнесенная к жесткости рассматриваемого элемента ЕJ_х, даст перемещение в рассматри­ваемой точке.

Другой алгоритм доказательства этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.2). Пусть одна из них (M_n) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис. 2 следует, что Подставим значения в выражение

где - дифференциал площади эпюры M_n.

Рис. 2.

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О₁, при этом:

где z_c – абсцисса центра тяжести площади , тогда:

Учитывая, что получим:

(1)

Выражение (1) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла:

Приведем некоторые практические указания по применению правила Верещагина:

1. Произведение площади нелинейной эпюры на ординату линейной считается положительным, если площадь и ордината расположены по одну сторону от осей эпюр.

2. Если в пределах данного участка обе эпюры линейны, то принципиально безразлично, площадь какой эпюры брать и на какой – ординату.

3. Если одна из эпюр криволинейна, а вторая – ломаная, следует разбить эту вторую эпюру на отдельные участки, в пределах которых она линейна (рис. 3,а).

Если обе эпюры ломаные и границы участков совпадают, то надо разбить обе эти эпюры на линейные участки, как показано, например на рис. 3,б.

4. Во многих случаях оказывается удобным строить грузовую эпюру М_х(Р) в так называемом «расслоенном» виде, т.е. от каждого вида нагрузки отдельно. При этом во многих случаях удобно строить эпюры, подходя с двух сторон к месту излома единичной эпюры.

Р ис. 3. Разбивка эпюр на участки.

5. При применении правила Верещагина наиболее часто на практике встречаются простейшие фигуры, площади  и координаты центров тяжести z_с которых приводятся в таблице.