Принятие решений в условиях неопределенности и риска. (Игры с природой. Теория статистических решений.)

Рассмотрим ситуацию принятия решений в условиях неопределенности внешней среды (состояние экономики, политики, природы). (Далее внешнюю среду будем называть природой.) Нет оснований считать, что природа расположена или нерасположена к нам, она нейтральна. Поэтому в этих случаях пользоваться результатами теории антагонистических игр было бы неразумно (крайне пессимистично). В то же время многое из теории игр оказывается полезным при анализе принципов оптимальности и в этом случае.

Итак, ситуацию принятия решений в условиях неопределенности внешней среды назовем «игрой с природой». Игрок А – человек (лицо, принимающее решения - ЛПР), игрок П – природа. Решение ЛПР – стратегия. Поведение природы описывается одним из ее состояний.

Возможны следующие принципы оптимальности

1) Доминирующие стратегии

2) Удаление доминируемых стратегий.

3) Осторожные стратегии (МГР).

4) Принцип благоприятствования стратегий.

Рассмотрим конечную игру с природой. Пусть задана A - матрица выигрыша. H (A_i, П_j) = a_ij

	П1	…	Пn
A1
…		aij
Am

Определение. Показателем благоприятствования состояния природы (игрока) П_j к выигрышу игрока А называется β_j = max a_{ij .}Риском i-той стратегии игрока А в состоянии Пj называется

Величина r_ij = β_j - a_ij.

_{Таким образом, по матрице выигрышей можно построить матрицу рисков:}

А→R_a=║r_ij║, например:

→

Как привести неопределенность задачи принятия решений к определенности?

1) Задать вероятности состояний природы.

2) Задать относительные вероятности состояний природы.

3) Получить экспертнуюя информацию о вероятностях.

4) В условиях неизвестных вероятностей состояния природы (неопределенность) субъективным путем устранить неопределенность.

Критерий Байеса относительно выигрышей (к1).

Пусть задана матрица игры с природой.

	П1	…	Пn
A1
…		aij
An
qi	q1		qn

Определение: Показателем эффективности стратегии А_i называется величина

Стратегия игрока называется максимальной (по К1), если ее показатель эффективности максимален. A_i0 – оптимальна (в соответствии с К1) => max ā_i = ā_i0.

Определение: Выигрыш игрока при использовании им смешанной стратегии P при состоянии природы П_j равен

Определение:

Показателем эффективности смешанной стратегии P игрока А (в соответствии с К1) называется величина

Определение:

Стратегия P⁰ игрока А назыается оптимальной на множестве S_a (в соответствии с К1) если

Теорема.

Если стратегия А_io оптимальна на множестве чистых стратегий S^c_a (в соответствии с К1), то она оптимальна и на множестве смешанных стратегий S_a (в соответствии с К1).

Доказательство.

Если верно, что , то =>

Т.к. .