7.2 Состав типичных задач, решаемых методами линейного программирования

            Типичные задачи линейного программирования выглядят так:

«Найти значения неизвестных, обеспечивающие максимум (или минимум) некоторой критериальной функции, представляющей собой линейную комбинацию значений неизвестных».

При этом:

- в задачу линейного программирования входит еще система ограничений для самих неизвестных и/или линейных комбинаций этих неизвестных;

- линейная комбинация неизвестных в критериальной функции обычно включает в себя «свободный член», который не зависит от значений неизвестных.

Таким образом, и критериальная функция и ограничения носят линейный характер, что и определяет название этого класса задач.

Чаще всего задача линейного программирования ставится в отношении поиска либо максимума, либо минимума критериальной функции и лишь значительно реже – и того и другого.

Обычно значения всех неизвестных могут изменяться непрерывным образом. В этом случае говорят об «области допустимых решений, в пределах которой необходимо выбрать оптимальное (в отношении величины критериальной функции) решение.

         Однако возможны и постановки задач, когда все (или часть) неизвестных могут изменяться лишь дискретным образом. Если все переменные могут изменяться только дискретно, то мы имеем для выбора оптимального решения дискретное множество вариантов (иногда оно может насчитывать достаточно много элементов). Если же часть переменных (или хотя бы одна) могут меняться непрерывным образом, то набор возможных решений формально остается бесконечно большим.

В общем случае для задач линейного программирования могут быть такие ситуации в отношении наличия решений:

(а) решение существует и является единственным;

(б) имеется бесконечно много решений, обеспечивающих экстремальное (максимум или минимум) значение критериальной функции;

(в) не существует ни одного решения

Вариант «а» является наиболее типичным (распространенным) для задач линейного программирования.

Вариант «б» встречается как исключение. В этом случае лицо принимающее решение (ЛПР) выбирает его из числа вариантов с оптимальным значением критериальной функции по некоторому дополнительному критерию.

Вариант «в» соответствует тому, что в постановке задач задана «не совместимая» (или «не совместная») система ограничений. Иными словами не существует никакой области допустимых решений (следовательно и «выбирать не из чего»). В таких случаях если речь идет о задаче «учебного характера», то необходимо проверить, прежде всего, правильность компьютерной реализации включенных в задачу ограничений.

Если же речь идет о реальной задаче, постановка которой исходит от ЛПР, то обычно бывает нужно пересмотреть систему ограничений - с тем, чтобы она стала совместной.

7.3 Транспортная задача линейного программирования

            Транспортные задачи являются особой разновидностью задач линейного программирования и в отношении постановки и в отношении методов решения.

Типичная постановка задачи линейного программирования выглядит следующим образом.

- Существует «N» производителей некоторой продукции, причем их мощности по производству этой продукции заданы в виде вектора . Также существует «M» потребителей той же продукции, причем их потребности в продукции заданы в виде вектора .

- Задана матрица стоимости перевозок единицы груза от каждого производителя каждому потребителю.

- Требуется найти такой план перевозок, при котором суммарная стоимость всех перевозок от производителей к потребителям была бы минимальной.

Для закрытой транспортной задачи суммарная мощность всех производителей равняется суммарной потребности всех потребителей продукции. Такая постановка задачи считается стандартной.

Для открытой транспортной задачи возможны два подварианта.

А) Суммарная мощность всех производителей меньше суммарной потребности всех потребителей. В этом случае для части (или всех) потребителей объемы поставок будут несколько ниже, чем их потребности (в отдельных случаях объемы поставок могут даже быть нулевые).

Б) Суммарная мощность всех производителей больше, чем потребности всех потребителей. При этом часть производителей будет работать «не на полную мощность».

В целом можно считать, что постановка транспортной задачи линейного программирования соответствует деятельности некоторого холдинга, включающего: заводы производители продукции; торговые фирмы, реализующие продукцию; транспортную фирму, обеспечивающую доставку грузов.

Укажем теперь некоторые стандартные особенности формализации транспортных задач, т.к. эти вопросы слабо отражены в литературе. При этом необходимо отметить, что часть предположений, принимаемых при формализации, в реальной жизни не выполняется.

А) Перевозки предполагаются только односторонними – от производителей к потребителям, но не в обратном направлении и не между потребителями.

Б) Не допускается обслуживания одним транспортным средством за один «рейс» нескольких потребителей сразу.

В) Не допускается обслуживания одним транспортным средством за один «рейс» нескольких производителей сразу

Г) Исключается возможность порчи продукции при перевозке, снижения ее качества, хищений и пр. (т.е. сколько взято от производителей, столько же доставлено потребителям).

Д) Обычно считается, что объем грузоперевозок от каждого производителя к каждому потребителю может изменяться непрерывным образом и при этом не может быть отрицательным (в силу пункта «А»).

Е) В стандартных постановках транспортных задач не вводится ограничений на максимальный и минимальный объем перевозок по каждому направлению, а также на «партионность» грузов.

Ж) Не рассматриваются возможности перевозки совокупности грузов разных типов и связанные с этим вопросы их совместимости друг с другом в процессе перевозки, максимальной грузоподъемности транспортного средства и пр.

Транспортные задачи линейного программирования могут решаться «вручную», но это очень трудоемко. Поэтому такие методы в лабораторных работах не рассматриваются, а вместо этого применяется средство «поиск решения».

В случае «закрытых» транспортных задач в стандартной постановке применение этого средства сводится к подбору объемов перевозок при условиях:

- минимум суммы «поэлементных» произведений двух матриц – «стоимости перевозок единицы груза от поставщиков потребителям» и «фактических объемов перевозок» (подчеркиваю – речь идет о поэлементном произведении двух матриц, а не об умножении этих матриц по правилам матричного умножения, т.е. «строка на столбец»);

- суммы в матрице «фактических объемов перевозок» по строкам должны быть равны потребностям соответствующих потребителей;

- суммы в матрице «фактических объемов перевозок» по столбцам должны быть равны соответствующим мощностям производителей.

Безусловно, удовлетворить второе и третье условия можно (для задачи не слишком большой размерности) с помощью ручного подбора в «электронной таблице». Однако такое решение как правило будет не оптимальным в отношении первого условия. Поэтому и приходится прибегать к помощи средства «поиск решения».

При использовании этого средства также могут быть заданы:

- запрет на перевозки по определенному направлению (т.е. от определенного поставщика определенному потребителю) – однако если таких ограничений будет много, то резко повысится вероятность того, что транспортная задача не имеет решения;

- ограничения на перевозки в определенном направлении по нижнему значению (например, потому что при малых объемах они просто не рентабельны) и верхнему значению (ограниченная способность транспортных средств или магистралей);

- ограничения на партионность грузов, т.е. величина объема перевозок должна быть кратна определенному значению (причем такое значение может быть индивидуальным для каждого направления перевозок).