15.Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними

------------------------------ (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок x₁=0, x₂=0,…,x_n=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

16. Еліптичний параболоїд

Еліптичний параболоїд

Рівняння еліптичного параболоїда:

де a і b одного знака. Поверхня описується сімейством паралельних парабол з гілками, спрямованими вгору, вершини яких описують параболу, з гілками, також спрямованими вгору.

Якщо a = b то еліптичний параболоїд являє собою поверхню обертання, утворену обертанням параболи навколо вертикальної осі, що проходить через вершину даної параболи.

16. Гіперболічний параболоїд

Гіперболічний параболоїд.

Зважаючи геометричній схожості гіперболічний параболоїд часто називають "сідлом".

Рівняння гіперболічного параболоїда:

При перетині гіперболічного параболоїда площиною z = z ₀ поверхню породжує гіперболу.

При перетині гіперболічного параболоїда площиною x = x ₀ або y = y ₀ поверхню породжує параболу.

Властивості

Коли a = b, еліптичний параболоїд перетворюється на параболоїд обертання: поверхню отримано обертанням параболи навколо її осі. Форму параболоїду обертання мають параболічні рефлектори, дзеркала, антенні тарілки тощо. Форма рідини, що обертається в рідинно-дзеркальних телескопах, також є параболоїдом обертання. Параболоїд обертання також називається круговим параболоїдом.

У техніці

Параболоїд обертання фокусує пучок променів, паралельний головної осі, в одну точку

Часто використовується властивість параболоїда обертання збирати пучок променів, паралельний головної осі, в одну точку - фокус, або, навпаки, формувати паралельний пучок випромінювання від знаходиться у фокусі джерела. На цьому принципі засновані параболічні антени, телескопи-рефлектори, прожектори, автомобільні фари і т.д.

17.Скалярні і векторні величини

Багато фізичних величин повністю визначаються своїм числовим значенням (об’єм, маса, густина, температура тощо); вони називають­ся скалярними. Але е й такі величини, які крім числового значення ма­ють ще й напрям (швидкість, сила, напруженість магнітного поля тощо). Такі величини називаються векторними.

Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає на­прямлений відрізок, або вектор, тобто відрізок, що має певну довжину і певний напрям. (Термін «вектор» (відлат. vector — переносник) ввів у 1848 р. Гамільтон.) Першу точку А називають початком вектора, а другу В — кінцем вектора. Напрямом вектора вважають напрям від його початку до кінця.

Вектор, початок якого знаходиться в точці А, а кінець — в точці

В, позначається символом А В або а. Напрям вектора на рисунку по-

казують стрілкою (рис. 2.1). Відстань між початком вектора а = АВ і його кінцем називається довжиною (або модулем) вектора і познача­ється | а | або | AB |.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним.Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора а, називаеться ортом вектора а і позначається через a°.Вектор, початок якого збігається з кінцем, називається нульовимі позначається через о; напрям нульового вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.Вектори а і Ь називаються кoлінeарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.Колінеарні вектори можуть бути напрямлені однаково або протилежно Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору Вектори а і в називаються рівними (а = в), якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні довжини.

В означенні рівності векторів не передбачено якесь певне розмі­щення їх, тому, не порушуючи рівності, вектори можна переносити паралельно самим собі. У зв’язку з цим вектори в аналітичній геомет­рії називаються вільними. Іноді вільність переміщення вектора об­межується. В механіці, наприклад, розглядаються ковзні і зв’язані вектори. Прикладом ковзного вектора є вектор кутової швидкості при обертанні тіла, тому що він може розміщуватися лише на осі обертання. Прикладом зв’язаного вектора є сила, прикладена до якоїсь точки пружного тіла, оскільки результат дії сили залежить від точки при­кладання.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в од­ній площині або в паралельних площинах. Зокрема, вектори компланарні, якщо два з них або всі три колінеарні. Три вектори вважають­ся компланарними також у тому випадку, коли хоча б один з них ну­льовий.