12. Конічні поверхні

Конічна поверхню.

Поверхня S називається конічною поверхнею з вершиною в точці O , Якщо для будь-якої точки M ₀ цієї поверхні пряма, що проходить через M ₀ і O , Цілком належить цій поверхні.

Функція F (x, y, z) називається однорідної порядку m , Якщо виконується наступне:

Теорема (про зрівняння конічної поверхні). Якщо в деякій декартовій прямокутній системі координат поверхню S задана рівнянням F (x, y, z) = 0 , Де F (x, y, z) - Однорідна функція, то S - Конічна поверхня з вершиною в початку координат.

Якщо поверхня S задана функцією F (x, y, z) , Що є однорідним алгебраїчним многочленом другого порядку, то S називається конічною поверхнею другого порядку.

• Канонічне рівняння конуса другого порядку має вигляд:

12. Поверхні обертання

Поверхня S називається поверхнею обертання навколо осі O Z , Якщо для будь-якої точки M ₀ (x _0, y _0, z ₀₎ цієї поверхні коло, що проходить через цю точку в площині z = z ₀ з центром в (0,0, z ₀₎ і радіусом , Цілком належить цій поверхні.

| | |}

У випадку, якщо , Перераховані вище поверхні є поверхнями обертання.

13. Загальний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Система m лінійних рівнянь з n невідомими (або, лінійна система) в лінійної алгебри - це система рівнянь виду

(1)

Тут x _1, x _2,..., x _n - невідомі, які треба визначити. A _11, a _12,..., a _mn - коефіцієнти системи - і b _1, b _2,... b _m - вільні члени - передбачаються відомими. Індекси коефіцієнтів (a _ij) системи позначають номери рівняння (i) та невідомого (j), при якому стоїть цей коефіцієнт, відповідно ^[1].

Система (1) називається однорідною, якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю (b ₁ = b ₂ = ... = b _m = 0), інакше - неоднорідною.

Система (1) називається квадратної, якщо число m рівнянь дорівнює числу n невідомих.

Рішення системи (1) - сукупність n чисел c _1, c _2,..., c _n, таких що підстановка кожного c _i замість x _i в систему (1) звертає всі її рівняння в тотожності.

Система (1) називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо у неї немає ні одного рішення.

Спільна система виду (1) може мати одне або більше рішень.

Рішення c _{1 (1),} c ₂ ^(1),..., c _n ⁽¹⁾ і c ₁ ^(2), c _{2 (2),}..., c _n ⁽²⁾ спільної системи виду (1) називаються різними, якщо порушується хоча б одна з рівностей:

c 1 (1) = c 1 (2), c 2 (1) = c 2 (2),..., c n (1) = c n (2).

Спільна система виду (1) називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, якщо ж у неї є хоча б два різних рішення, то вона називається невизначеною.Якщо рівнянь більше, ніж невідомих, вона називається перевизначених.

Матрична форма

Система лінійних рівнянь може бути представлена ​​в матричній формі як:

або:

A x = B.

Якщо до матриці А приписати справа стовпець вільних членів, то вийшла матриця називається розширеною.

Теорема Кронекера — Капеллі

13.Теорема Кронекера - Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді,коли ранг її матриці   дорівнює рангу її розширеної матриці 

Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.

Необхідність

Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок:   такі, що   Тобто, стовпець   є лінійною комбінацією стовпців матриці 

Отже 

Достатність

Нехай   Візьмемо в матриці   будь-який базисний мінор. Так як  , то він буде базисним мінором і для матриці 

Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці   буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці 

Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці   коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.

14. Однопорожнинний та двопорожнинний гіперболоїд

Гіперболо́їд (грец. від hyperbole - гіпербола, і eidos - подібність) — вид поверхні другого порядку в тривимірному просторі, що задається вДекартових координатах рівнянням

  (Однопорожнинний гіперболоїд),

де a і b- дійсні півосі, а c- уявна піввісь;

або

  (двопорожнинний гіперболоїд),

де a і b - уявні півосі, а c- дійсна піввісь.

Якщо a = b, то така поверхня зветься - гіперболоїд обертання. Однопорожнинний гіперболоїд обертання можна отримати обертаннямгіперболи навколо її уявної осі, двополосний - навколо дійсної. Двопорожнинний гіперболоїд обертання також є геометричним місцем точок P, модуль різниці відстаней, від яких до двох заданих точок A і B постійний:  . У такому випадку точки A і B звутьсяфокусами Гіперболоїда.

Однопорожнинний гіперболоїд є двічі лінійчатою поверхнею. Якщо він є гіперболоїдом обертання, то його можна отримати обертанням прямої навколо іншої прямої, що є мимобіжною з нею.

15. Метод Гаусса ^[1] - класичний метод рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР). Це метод послідовного виключення змінних, коли за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системі ступеневої (або трикутного) виду, з якого послідовно, починаючи з останніх (за номером) змінних, знаходяться всі інші змінні ^[2].

Ме́тод Га́уса — алгоритм розв'язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Початок алгоритму. 

Прямий хід: Шляхом елементарних перетворень рядків (додавань до рядка іншого рядка, помноженого на число, і перестановок рядків) матриця приводиться до верхньотрикутного вигляду.

З цього моменту починається зворотний хід.

З останнього ненульового рівняння виражаємо кожну з базисних змінних через небазисні і підставляємо в попередні рівняння. Повторюючи цю процедуру для всіх базисних змінних, отримуємо фундаментальний розв'язок.