10. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Поняття поверхні другого порядку

Поверхнею другого ппрядку називається множина точок, прямокут­ні координати яких задовольняють рівняння виду

ах² + by² +сг^г + dxy + ехг + fyz + gx + hy + kz + l = 0, (74) де принаймні один з коефіцієнтів а, b, с, d, е, f відмінний від нуля.

Рівняння (74) називається загальним рівнянням поверхні другого порядку.

Поверхня другого порядку як геометричний об’єкт не змінюється, якщо від заданої прямокутної системи координат перейти до іншої. При цьому рівняння (74) і рівняння, знайдене після перетворення ко­ординат, будуть еквівалентні.

Можна довести, що існує система координат, в якій рівняння (74) має найпростіший (або канонічний) вигляд

До поверхонь другого порядку належать, зокрема, циліндричні та конічні поверхні, поверхні обертання, сфера, еліпсоїд, однопорож­нинний та двопорожнинний гіперболоїди, еліптичний та гіперболіч­ний параболоїди. Розглянемо ні поверхні та їхні канонічні рівняння.

10. Сфера

Сфе́ра (гр. σφαῖρα) - замкнута поверхня, геометричне місце точок рівновіддалених від даної точки, що є центром сфери.

Рівняння

У аналітичній геометрії сфері з координатами О(x₀, y₀, z₀) і радіусом r є геометричним місцем усіх точок (x, y, z), що

У сферичній системі координат будь-яку точку сфери можна подати як

Сфера довільного радіусу з центром у початку координат задається диференціальним рівнянням:

Це рівняння відображає факт, що вектори швидкості та координат точки, що рухається по поверхні сфери постійно ортогональні один до одного.

Формули

Площа поверхні
Замкнений об'єм
Площа сегмента

10.Еліпсоїд - поверхня в тривимірному просторі, отримана деформацією сфери вздовж трьох взаємно перпендикулярних осей. Канонічне рівняння еліпсоїда вдекартових координатах, що збігаються з осями деформації еліпсоїда:

Величини a, b, c називають півосями еліпсоїда. Також еліпсоїдом називають тіло, обмежене поверхнею еліпсоїда. Еліпсоїд являє собою одну з можливих формповерхонь другого порядку.

У випадку, коли пара піввісь має однакову довжину, еліпсоїд можна отримати обертанням еліпса навколо однієї з його осей. Такий еліпсоїд називаютьеліпсоїдом обертання або сфероїдом.

Еліпсоїд більш точно, ніж сфера, відображає ідеалізовану поверхню Землі.

Обсяг еліпсоїда:

Площа поверхні еліпсоїда обертання:

11.Матричний метод рішення (метод вирішення через обернену матрицю) систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником полягає в наступному.

Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими (над довільним полем):

Тоді її можна переписати в матричній формі:

, Де - Основна матриця системи, і - Стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння зліва на - Матрицю, зворотну до матриці :

Так як , Отримуємо . Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосовності даного методу (як і взагалі існування рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь із числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невироджених матриці A. Необхідною і достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A:

.

11Метод Крамера

Метод Крамера (Крамера правило) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь розв'язок існує і є єдиним).

Для системи   лінійних рівнянь з   невідомими (над довільним полем)

з визначником матриці системи  , що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

(i-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів). Іншим чином правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів c₁, c₂, …, c_n виконується рівність:

12. Циліндричні поверхні

Поверхня S називається циліндричною поверхнею з твірної , Якщо для будь-якої точки M ₀ цієї поверхні пряма, що проходить через цю точку паралельно твірної , Цілком належить поверхні S .

Теорема (про зрівняння циліндричної поверхні). Якщо в деякій декартовій прямокутній системі координат поверхню S має рівняння f (x, y) = 0 , То S - Циліндрична поверхня з утворюючої, паралельної осі O Z .

Крива, що задається рівнянням f (x, y) = 0 в площині z = 0 , Називається направляючою циліндричної поверхні.

Якщо напрямна циліндричної поверхні задається кривої другого порядку, то така поверхня називається циліндричною поверхнею другого порядку.

Еліптичний циліндр:	Параболічний циліндр:	Гіперболічний циліндр:
Пара збіглися прямих:	Пара збіглися площин:	Пара пересічних площин: