Следовательно, мгновенное значение тока

i₁(t) = 10 sin(t – 90 + 45) = 10 sin(t – 45) А,

действующее значение тока I₁ = = 10 А.

Напряжение на параллельно включенных ветвях

u_bd(t) = U_bdmsin(t +_u –  _вх +  ₂₃);

где U_bdm = I_1m = 10  = 400 B;

 ₂₃ = arctg = arctg = 45,

или u_bd(t) = 400sin(t – 90 + 45+ 45) = 400sin(t) B.

действующие значения напряжения эквивалентного участка и токов параллельных ветвей

U_bd = = = 282 B; I₂ = = = 14,1 А;

I₃ = = = 10 А.

Углы сдвига фаз напряжений и токов второй и третьей ветвей

 ₂ = arctg = arctg = 90,  ₃ = arctg = arctg = -45.

Мгновенные значения токов параллельных ветвей

i₂(t) = I₂ sin(t+_ubd –  ₂) = 20sin(t – 90) А;

i₃(t) = I₃ sin(t+_ubd –  ₃) = 10 sin(t + 45) А;

где _ubd = _u –  _вх –  ₂₃ = -90 + 45 + 45 = 0.

Проверим баланс активных мощностей: UI₁cos _вх = I₁²r₁ + I₃²r₃.

10cos(-45) = 10²10+10²20 или 3000 Вт = 3000 Вт.

Проверим баланс реактивных мощностей:

UI₁sin _вх = I₁²(-x₄) + I₂²x₂ + I₃²(-x₃).

10sin(-45)=10²(-50)+(10 )²20+10²(-20) или -3000 вар = -3000 вар.

В ывод: балансы активных и реактивных мощностей сходятся, следовательно, задача решена верно и можно переходить к построению полной векторной диаграммы.

Рассчитаем неизвестные напряжения на элементах электрической цепи.

U_ab = I₁r₁ = 1010 = 100 В; U_bc = I₃r₃ = 1020 = 200 В;

U_ca = I₃x₃ = 1020 = 200 В; U_de = I₁x₄ = 1050 = 500 В.

Векторная диаграмма приведена на рис. 3.19. Её построение начинается с выбора масштабов напряжений и токов. Затем в произвольном направлении строится вектор напряжения на параллельно включенных ветвях U_bd, от которого под углами  ₂,  ₃,  ₂₃ строятся векторы токов I₂, I₃ и I₁, соответственно. При этом следует учесть, что I₁ = I₂ + I₃.

О стальные векторы напряжений строятся в соответствии с уравнениями второго закона Кирхгофа и порядком расположения элементов эквивалентной схемы (см. рис. 3.18,б):

U_ab + U_bd + U_de = U.

ЗАДАЧА 3.21. Рас-считать действующие значе-ния напряжений и токов в схеме рис. 3.20,а, проверить балансы активных и реак-тивных мощностей, постро-ить полную векторную диаг-рамму напряжений и токов, если: U = 300 B; r₂ = 30 Ом, x₂ = 10 Ом; x₃ = 33,33 Ом; x₄ = 2 Ом;

x₅ = 20 Ом; r₆ = 10 Ом; x₁ = 8 Ом; r₁ = 4 Ом.

Решение

В рассматриваемой схеме два разветвления: на участке bc параллельно включены 2^я и 3^я ветви, которые могут быть заменены эквивалентной ветвью r₂₃-x₂₃ (рис. 3.20,б); на участке de параллельно включены 5^я и 6^я ветви, заменяемые последовательной эквивалентной цепью r₅₆-x₅₆. Замена осуществляется на основании соотношений между активными и реактивными проводимостями параллельных ветвей:

g₂ = = = 0,03 Cм; b₂ = = = 0,01 Cм (инд.);

g₃ = 0; b₃ = = = 0,03 Cм (инд.);

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0,03 + 0 = 0,03 Cм; b₂₃ = b₂ + b₃ = 0,01 + 0,03 = 0,04 Cм (инд.);

r₂₃ = = = 12 Ом;

x₂₃ = = = 16 Ом (инд.).

g₅ = 0; g₆ = = = 0,1 Cм; b₅ = = = 0,05 Cм (ёмк.); b₆ = 0;

g₅₆ = g₅ + g₆ = 0 + 0,1 = 0,1 Cм; b₅₆ = b₅ + b₆ = 0,05 + 0 = 0,05 Cм (ёмк.);

r₅₆ = = = 8 Ом; x₅₆ = = = 4 Ом (ёмк.).

Входное сопротивление цепи по эквивалентной схеме (рис. 3.20,б)

Z_вх =

= = 30 Ом;

cos _вх = = = 0,8;

sin _вх = = = 0,6.

Ток в общей части схемы I₁ = I₄ = = = 10 A,

напряжения на разветвлениях U_bc = I₁ = 10 = 200 B,

U_de = I₁ = 10 = 40 B,

токи в остальных ветвях

I₂ = = = 2 A, I₅ = = = 2 A,

I₃ = = = 6 A, I₆ = = = 4 A.

Проверим балансы мощностей. Баланс активных мощностей представляется для схемы рис. 3.20,а выражением

UI₁cos _вх = I₁²r₁ + I₂²r₂ + I₆²r₆,

300100,8 = 10²4+ 30+ 30

или 3000 Вт = 3000 Вт - выполняется.

Баланс реактивных мощностей цепи

UI₁sin _вх = I₁²x₁ + I₂²x₂ + I₃²x₃ – I₄²x₄ – I₅²x₅,

300100,6 = 10²8 + 10 + 6²33,33 – 10²2 – 20

или 1800 вар = 800 + 400 + 1200 – 200 – 400 вар - выполняется.

Так как оба баланса мощностей выполняются, задача расчёта цепи решена верно, и можно переходить к построению векторной диаграммы.

Так как в схеме рис. 3.20,а имеется два разветвления, то сначала строится векторная диаграмма для последовательной эквивалентной схемы рис. 3.20,б и построение начинается с выбора произвольного направления вектора тока I₁ последовательной цепи (горизонтально, вправо) (рис. 3.21).

Уравнение по второму закону Кирхгофа запишем в векторной форме с соблюдением принципа: падения напряжений на элементах схемы строго следуют в соответствии с расположением элементов, и каждому вектору напряжения присваиваются соответствующие индексы точек схемы:

+ r₂₃ + x₂₃ + + r₅₆ + x₅₆ + = = .

При этом = x₁ =108 = 80 B и этот вектор напряжения опережает ток на 90;

I₁r₂₃ = 1012 = 120 B, I₁x₂₃ = 1016 = 160 B,

U_cd = I₁x₄ = 102 = 20 B, I₁r₅₆ = 108 = 80 B,

I₁x₅₆ = 104 = 40 B, I₁r₁ = U_ef = 104 = 40 B.

На рис. 3.21 падения векторных напряжений r₂₃, x₂₃, r₅₆, x₅₆

построены пунктирно, так как эти напряжения отсутствуют в исходной схеме.

Далее переходим к построению векторов токов I₂ и I₃. Ток I₃ перпендикулярен напряжению U_bc, а ток = - .

Параллельно вектору U_de откладывается ток I₆, а ток = - стро-ится в соответствии с первым законом Кирхгофа.

З атем относительно тока I₂ откладываются векторы падений напряжений = x₂ и = r₂.

Векторная диаграмма принимает окончательный вид рис. 3.21. На этой векторной диаграмме указан также вектор напряжения .

З АДАЧА 3.22. В схеме рис. 3.22 известно:

U = 200 B; r₁ = 30 Ом; x₁ = 50 Ом;

x₂ = 10 Ом; r₃ = 5 Ом; x₃ = 15 Ом.

Определить показания приборов.

Решение

1. Заменяем параллельное соеди-нение ветвей 2 и 3 эквивалентным последовательным соединением сопротивлений r₂₃ и x₂₃:

g₂ = 0; b₂ = = = 0,1 Cм; Z₃ = = = = 5 Oм;

g₃ = = = 0,02 Cм; b₃ = = = 0,06 Cм;

g₂₃ = g₂ + g₃ = 0 + 0,02 = 0,02 Cм; b₂₃ = b₂ – b₃ = 0,1 – 0,06 = 0,04 Cм;

Y₂₃ = = = 0,02 Cм; Z₂₃ = = = 10 Oм;

r₂₃ = = = 10 Ом; x₂₃ = = = 20 Ом.

2. Входное сопротивление цепи и её коэффициент мощности:

Z = = = 50 Oм;

cos = = = 0,8.

Действующее значение тока в неразветвлённой части цепи (показание первого амперметра): I₁ = = = 4 A.

Напряжение на зажимах параллельных ветвей:

U₂₃ = Z₂₃I₁= 10 4 = 40 B.

Показания второго и третьего амперметров:

I₂ = = = 4 A; I₃ = = = 4 A.

3. Ваттметр включен на измерение активной мощности цепи. Его показание:

P = UI₁cos = 20040,8 = 640 Вт.

Активная мощность резисторов

P_R = r₁I₁² + r₂I₂² = 304² + 5 = 640 Вт

равна активной мощности источника, то есть налицо выполнение баланса активных мощностей.

ЗАДАЧА 3.23. В схеме рис. 3.23,а известно: u(t) =100 sin(t+30) B;

r₁ = 5 Ом; x_C1 = 8 Ом; r₂ = 3 Ом; x_C2 = 10 Ом; x_L = 4 Ом.

Определить токи, коэффициент мощности, построить полную векторную диаграмму цепи. Задачу решить методом пропорциональных величин. Дополнительно ответить на вопросы: при каком x_C2 будет резонанс токов? При каком x_C1 будет резонанс напряжений?

Р ешение

1. Построим качественно векторную диаграмму (ВД) (рис. 3.23,б). Построение следует начинать с самого дальнего от источника участка цепи (это – третья ветвь). Поскольку здесь имеется последовательное соединение сопротивлений, сначала строим вектор тока I₃. Далее построение диаграммы ведётся от конца схемы к началу (источнику) с соблюдением законов Кирхгофа и правил построения ВД.

2. Расчёт выполняем в том же порядке, в каком строилась ВД.

Пусть I₃ = 1 A, т.е. i₃(t) = sin(t) A. Тогда

U_r2 = r₂I₃ = 3 B, U_xL = x_LI₃ = 4 B, I₂ = = = 0,5 A.

Проекции векторов токов на оси х и у:

I_3x = I₃ = 1 A, I_3y = 0;  ₃ = arctg = arctg = 53,1,

I_2x = I₂cos( ₃ + 90)= 0,5(-0,8) = -0,4 A, I_2y = I₂sin( ₃ + 90)= 0,50,6 = 0,3 A.

Определяем первый ток по проекциям:

I_1x = I_2x + I_3x = -0,4 + 1 = 0,6 A, I_1y = I_2y + I_3y = 0,3 A,

I₁ = = = 0,671 A.

Фаза первого тока _i1 = arctg = arctg = 26,6.

Определяем расчётное значение входного напряжения по проекциям:

U_xC1 = x_C1I₁ = 80,671 = 5,36 B; U_r1 = r₁I₁ = 50,671 = 3,35 B,

U_x = U_xC1cos( 90 – _i1) + U_r1cos(_i1) + U_r2 =

= 5,36cos(90 – 26,6) + 3,35cos(26,6) + 3 = 8,40 B,

U_y = U_xC1sin(_i1 – 90) + U_r1sin(_i1) + U_xL =

= 5,36sin(26,6 – 90) + 3,35sin(26,6) + 4 = 0,707 B,

U_расч = = = 8,43 B,

_Uрасч = arctg = arctg = 4,8.

3. Коэффициенты пересчёта:

k = = = 11,86;  =_U – _Uрасч = 30 – 4,8 = 25,2.

4. Получаем ответы i₁(t) = 7,96 sin(t + 51,8) A;

i₂(t) = 5,93 sin(t + 168,4) A;

i₃(t) = 11,86 sin(t + 25,2) A.

5. Условие резонанса токов: b₂ = b₃.

b₂ = ; b₃ = = См; х_С2 = = = = 6,25 Ом.

6. Условие резонанса напряжений х_С1 = х₂₃,

но Z₂₃ = = = 7,46 Ом,

х₂₃ = Z₂₃sin( ₃ – _i1) = 7,46sin(53,1 – 26,6) = 3,33 Ом.

Таким образом, резонанс напряжений наблюдается при х_С1 = 3,33 Ом.