Пример:

1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05, проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n =100, приведенным в таблице 1

Номер интервала-i	Граница интервала		Частота ni
	хi	Х i+1
1	3	8	6
2	8	13	8
3	13	18	15
4	18	23	40
5	21	28	16
6	28	33	8
7	33	38	7
			n=100

Решение:

Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом среднеарифметической взвешенной. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты х_i* среднее арифметическое концов интервала:

х_i*= (х_i+ х_i+1)/2. В итоге получим распределение:

хi*	5,5	10,5	15,5	20,5	25,5	30,5	35,5
ni	6	8	15	40	16	8	7

выкладки по методу среднеарифметической взвешенной, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение: х_ср.*=20,7, ơ*=7,28

2.Найдем интервалы (z_i, z_i+1) учитывая, что х_ср* =20,7, ơ*=7,28,

1/ ơ*=0,137. Для этого составим расчетную таблицу 2 (левый конец первого интервала примем равным —͚∞, а правый конец последнего интервала ∞).

Таблица 2

i	Границы интервала		хi - х*	хi+1 –хср*	Границы интервала
	хi	хi+1			zi=(хi-хср*) / ơ*	zi+1=(хi+хср*) / ơ*
1	3	8	-	-12,7	-∞	-1,74
2	8	13	-12,7	-7,7	-1,74	-1,06
3	13	18	-7,7	-2,7	-1,06	-0,37
4	18	23	-2,7	2,3	-0,37	0,32
5	23	28	2,3	7,3	0,32	1,0
6	28	33	7,3	12,3	1,0	1,69
7	33	38	12,3	-	1,69	∞

3.Найдем теоретические вероятности Рi и теоретические частоты ni*=n*Pi=100*Pi. Для этого составим расчетную таблицу 3

Таблица 3

i	Границы интервала		Ф (zi)	Ф (zi+1)	Рi=Ф(zi+1) - Ф (zi)	ni1=100*Pi
	хi	хi+1
1	-	-1,74	-0.5000	-0.4591	0.0409	4.09
2	-1,74	-1,06	-0.4591	-0.3554	0.1037	10.37
3	-1,06	-0,37	-0.3554	-0.1443	0.2111	21.11
4	-0,37	0,32	-0.1443	0.1255	0.2698	26.98
5	0,32	1,0	0.1255	0.3413	0.2158	21.58
6	1,0	1,69	0.3413	0.4545	0.1132	11.32
7	1,69		0.4545	0.5000	0.0455	4.55
∑					1	100

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

А) вычислим наблюдаемые значения критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 4. Столбцы 7,8 служит для контроля вычислений по формуле:

χ²_{набл =}∑(n_i² /ni) –n

Контроль:

∑(n_i² /ni) –n=113,22-100=13,22= χ²_набл

Вычисления произведены правильно

Таблица 4

i	ni	ni1	ni-- ni1	(ni-- ni1)2	(ni-- ni1)2/ ni1	ni 2	ni 2 / ni 1
1	6	4.00	1.91	3.6481	0.8920	36	8.8019
2	8	10.37	-2.37	5.6169	0.5416	64	6.1716
3	15	21.11	-6.11	37.3321	1.7684	225	10.6584
4	40	26.98	13.02	169.5204	6.2833	1600	59.3052
5	16	21.58	-5.58	31.1364	1.4428	256	11.8628
6	8	11.32	-3.32	11.0224	0.9737	64	5.6537
7	7	4.55	2.45	6.0025	1.3192	49	10.7692
∑	100	100			χ2набл=13.22		113.22

Б)по таблице критических точек распределения χ² (приложение 5-критические точки распределения χ^2-число степеней свободы/уровень значимости χ²) по уровню значимости ɑ = 0,05 и числу степеней свободы к=S -3 = 7-3=4 (S-число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области χ²_кр (0,05;4)=9,5

Т.к. χ²_{набл=13.22>} χ²_кр=9,5 –отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Хi ; другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются значимо. Это означает, что данные наблюдений не согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задача на дом:

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с заданным эмпирическим распределением.

А)

Номер интервала-i	Граница интервала		Частота- ni
	хi	Х i+1
1	-20	-10	20
2	-10	0	47
3	0	10	80
4	10	20	89
5	20	30	40
6	30	40	16
7	40	50	8
			n=300

Б)

Номер интервала-i	Граница интервала		Частота- ni
	хi	Х i+1
1	1	3	2
2	3	5	4
3	5	7	6
4	7	9	10
5	9	11	18
6	11	13	20
7	13	15	16
8	15	17	11
9	17	19	7
10	19	21	5
11	21	23	1
			n=100

В)

Номер интервала-i	Граница интервала		Частота- ni
	хi	Х i+1
1	6	16	8
2	16	26	7
3	26	36	16
4	36	46	35
5	46	56	15
6	56	66	8
7	66	76	6
8	76	86	5
			n=100

Г)

Номер интервала-i	Граница интервала		Частота- ni
	хi	Х i+1
1	5	10	7
2	10	15	8
3	15	20	15
4	20	25	18
5	25	30	23
6	30	35	19
7	35	40	14
8	40	45	10
9	45	50	6
			n=120

*)объединить малочисленные частоты первых двух и последних двух интервалов, а также сами интервалы.