Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Определение: Функция называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале , если график этой функции при расположен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 2).

Рис. 2

Теорема 12 (достаточное условие выпуклости вверх (вниз)). Пусть функция имеет производную второго порядка на интервале . Тогда, если (соответственно, ) на этом интервале, то функция выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.

Определение: Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки . Тогда если при переходе через точку функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точкой перегиба функции . Точка при этом называется точкой перегиба графика функции .

Теорема 13 (необходимое условие точки перегиба). Если – точка перегиба функции , то в этой точке производная второго порядка функции либо равна нулю , либо не существует.

Определение: Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками второго рода.

Теорема 14 (первое достаточное условие точки перегиба). Пусть функция непрерывна в точке и имеет производную второго порядка в некоторой окрестности этой точки (кроме, может быть, самой точки ). Тогда если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то – точка перегиба.

Теорема 15 (второе достаточное условие точки перегиба). Пусть в точке функция имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если , а , то – точка перегиба этой функции.

Асимптоты

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Определение: Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов и равен бесконечности.

Определение: Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ).

Теорема 16. Прямая является наклонной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы:

и

(соответственно, и ).

Определение: Наклонная асимптота , у которой , называется горизонтальной асимптотой.

Теорема 17. Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ).

Задача 6. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение: Пользуясь схемой для исследования функции, получим:

Область определения функции – вся числовая ось, за исключением точек и , то есть:

.

Функция непериодическая. Исследуем ее на четность и нечетность:

.

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при .

Найдем точки пересечения графика с осями координат:

1. С осью график пересекается при , откуда , то есть – точка пересечения с осью .

2. С осью график пересекается, если , то есть , откуда .

Таким образом, – единственная точка пересечения графика функции с осями координат.

Найдем интервалы знакопостоянства функции:

,

и так как мы рассматриваем только случай , то получаем .

Аналогично при .

Далее, , , то есть прямая – вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты:

,

,

то есть прямая – наклонная асимптота при (то же и при ). Горизонтальных асимптот график не имеет.

Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя производную первого порядка:

.

Отсюда видно (рис. 3), что при функция имеет максимум в точке (причем ), возрастает на и и убывает на .

Рис. 3

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:

.

Следовательно, при функция выпукла вверх, то есть , на и выпукла вниз, то есть , на , – точка перегиба.

Учитывая полученную информацию, строим график функции при _{, а затем симметрично отражаем его относительно начала координат (рис. 4).}

Рис. 4.