Вариант 32

1. Найти производную функции .

2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .

3. Найти производную функции .

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .

5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.

6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.

Вариант 33

1. Найти производную функции .

2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .

3. Найти производную функции .

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .

5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.

6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.

Вариант 34

1. Найти производную функции: .

2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .

3. Найти производную функции .

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .

5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.

6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.

Вариант 35

1. Найти производную функции: .

2. Найти производные первого и второго порядка функции, заданной параметрически: .

3. Найти производную функции .

4. С помощью дифференциала приближенно вычислить значение функции в точке .

5. Закон движения материальной точки имеет вид . Найти скорость ее движения в момент времени с.

6. Исследовать функцию и построить эскиз ее графика.

Производная

Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке :

.

Обозначение: , , .

Определение: Производная от функции называется производной первого порядка. Производная от функции называется производной второго порядка от функции и обозначается . Аналогично определяются производная третьего порядка, обозначаемая и т.д. Производная -го порядка обозначается .

Основные свойства производной

Пусть – константа, и имеют производные в некоторой точке . Тогда функции , , и , где , также имеют производные в этой точке, причем:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Таблица производных

1. ;

2. , где ;

3. , где ;

4. ;

5. , где , ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

Теорема 1. Пусть функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция также имеет производную в точке , причем:

.

Задача 1. Найти производную функции .

Решение: Данная функция является композицией двух функций и . Так как , то с учетом теоремы о производной сложной функции получим:

.

Найдем производную функции , применяя свойство производной, получим:

.

Функция является композицией двух функций и . Так как и , то по теореме о производной сложной функции получим:

.

Функция является произведением двух функций. Применяя свойства и производной, получим:

.

Таким образом, производная функции имеет вид:

,

а производная исходной функции:

.