Тема 13 геометрические приложения определенного интеграла. Физические приложения определенного интеграла
КОНСПЕКТ 13
13.1 Геометрические приложения интеграла
Криволинейной трапецией называется
плоская фигура, ограниченная графиком
некоторой функции
,
осью
и
прямыми
,
:
Площадь
криволинейной трапеции численно равна
определенному интегралу
.
У любого определенного интеграла
(который существует) есть очень хороший
геометрический смысл. С точки зрения
геометрии определенный интеграл – это
ПЛОЩАДЬ.
То есть, определенному
интегралу (если он существует) геометрически
соответствует площадь некоторой фигуры.
Например, рассмотрим определенный
интеграл
.
Подынтегральная функция
задает
на плоскости некоторую кривую (её можно
всегда при желании начертить), а сам
определенный интеграл
численно
равен площади соответствующей
криволинейной трапеции.
Пример 1
Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
,
.
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.
При
построении чертежа я рекомендую следующий
порядок: сначала лучше построить
все прямые (если они есть) и только потом
– параболы, гиперболы, графики других
функций. Графики функций выгоднее
строить поточечно. В данной
задаче решение может выглядеть
так.
Выполним чертеж (обратите
внимание, что уравнение
задает
ось
):
Штриховать
криволинейную трапецию я не буду, здесь
очевидно, о какой площади идет речь.
Решение продолжается так:
На
отрезке
график
функции
расположен
над осью
,
поэтому:
Ответ:
У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница .
13.2 ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
Физический смысл
определенного интеграла в механике
состоит в том, что путь
,
пройденный телом за отрезок времени от
до
,
движущимся прямолинейно со скоростью
,
вычисляется по формуле:
.
ПРАКТИКУМ 13
ЗАДАНИЕ N 1
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 9
секунд от начала движения, равен …
Решение:
Напоминаем, что путь
,
пройденный телом за отрезок времени от
до
,
движущимся прямолинейно со скоростью
,
вычисляется по формуле:
.
Тогда,
используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 2
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 2
секунды от начала движения, равен …
Решение:
Напоминаем, что путь
,
пройденный телом за отрезок времени от
до
,
движущимся прямолинейно со скоростью
,
вычисляется по формуле:
Тогда,
используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 3
Тема:
Геометрические приложения определенного
интеграла
Площадь фигуры, ограниченной
параболой
и
осью ОХ, равна …
Решение:
Обращаем внимание, что
площадь данной плоской фигуры вычисляется
по формуле
В
данной задаче сначала необходимо найти
пределы интегрирования (точки пересечения
параболы с осью ОХ):
Тогда
Площадь
фигуры равна
(кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 4
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за время
от второй секунды до шестой секунды
движения, равен …
Решение:
Напоминаем, что путь
,
пройденный телом за отрезок времени от
до
,
движущимся прямолинейно со скоростью
,
вычисляется по формуле:
.
Тогда,
используя условие, имеем:
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Геометрические приложения определенного
интеграла
Площадь фигуры, ограниченной
параболой
и
осью ОХ, равна …
Решение:
Обращаем внимание, что
площадь данной плоской фигуры вычисляется
по формуле
В
данной задаче сначала необходимо найти
пределы интегрирования (точки пересечения
параболы с осью ОХ):
Тогда
Площадь
фигуры равна
(кв. ед.).
ЗАДАНИЕ N 6
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 4 секунды
от начала движения, равен …
Решение:
Напоминаем, что путь
,
пройденный телом за отрезок времени от
до
,
движущимся прямолинейно со скоростью
,
вычисляется по формуле:
.
Тогда,
используя условие, имеем:
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 13
ЗАДАНИЕ N 1
Тема:
Геометрические приложения определенного
интеграла
Площадь фигуры, ограниченной
параболой
и
осью ОХ, равна …
ЗАДАНИЕ N 2
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за время
от второй секунды до четвертой секунды
движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 3
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 3
секунды от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 4
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 4
секунды от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 5
Тема:
Геометрические приложения определенного
интеграла
Площадь фигуры, ограниченной
параболой
и
осью ОХ, равна …
ЗАДАНИЕ N 6
Тема:
Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 5 секунд
от начала движения, равен …
ЗАДАНИЕ N 7
Тема: Физические приложения определенного
интеграла
Скорость движения тела
задана уравнением
.
Тогда путь, пройденный телом за 3
секунды от начала движения, равен …