Тема 10 дифференциал функции

КОНСПЕКТ 10

10.1 Дифференциал функции одной переменной

В самой примитивной формулировке дифференциал – это «почти то же самое, что и производная».

Производная функции чаще всего обозначается через .

Дифференциал функции стандартно обозначается через  (так и читается – «дэ игрек»)

Дифференциал функции одной переменной записывается в следующем виде:

Другой вариант записи:

Простейшая задача: Найти дифференциал функции

1) Первый этап. Найдем производную:

2) Второй этап. Запишем дифференциал:

Готово.

Дифференциал функции одной или нескольких переменных чаще всего используют для приближенных вычислений.

Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу:  где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше.

10.2 ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Для того, чтобы получить простейшую приближенную формулу для производной, нужно знать только ее определение:

. (3.1)

При малом h можно положить:

. (3.2)

Это и есть простейшая приближенная формула.

В определении (3.1) h может принимать значения обоих знаков. В дискретной записи принято обозначать через h положительное число, так что можно написать еще одну формулу:

(3.2´)

Какую ошибку мы совершаем, заменяя производную разностным отношением по формуле (3.2)? Это легко сообразить. Напишем:

.

Отсюда

,

где m₂=min | |, M₂ = max | |. При ошибка стремится к нулю со скоростью h или, как говорят, формула (3.2) имеет первый порядок точности. Сложением формул (3.2) и (3.2') получается симметричная формула:

. (3.3)

Формула (3.3), как легко проверить, точнее формулы (3.2), а именно, ошибка здесь имеет порядок — это есть формула второго порядка точности потому, что ошибка не превосходит , где M₃ = max | |. Это увеличение точности получилось только за счет симметрии. Это случается очень часто.

Рис. 1.

На рисунке 1 приведены результаты вычисления производной функции f(x) = sin(x) по трем разностным формулам (3.2, 3.2´ и 3.3) вместе с точным графиком производной.

ПРАКТИКУМ 10

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Пусть  тогда Имеем: По формуле получим

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу:  где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выражения  равно …

Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Для  имеем:  Тогда  По формуле  получим

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу:  где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выражения  равно …

Решение: . Так как , то можно рассмотреть функцию Для  имеем:  Тогда По формуле  получим:

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 10

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу:  где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выражения  равно …

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке можно использовать формулу:  где приращение функции в точке  Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда наилучшее приближенное значение выражения  равно …

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Дифференциал функции Для приближенного вычисления значения функции y(x) в точке  можно использовать формулу  где приращение функции в точке Функция y(x) определяется из условия задачи. Значения  и  выбираются так, чтобы можно было вычислить  и при этом , взятое по модулю, было бы как можно меньше. Тогда приближенное значение выражения  равно …