Тема 9 экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции

КОНСПЕКТ 9

9.1 Порядок нахождения экстремумов функции

1. Найти область определения функции и интервалы, на которых функция непрерывна.

2. Найти производную функции f '(x).

3. Найти критические точки функции y = f (x), т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная f '(x) обращается в нуль или не существует.

4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции y = f (x).

5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

Помни: критическая точка x₀ есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x)<0, от промежутка, в котором f '(x)>0, и точка максимума - в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой x₀, знак производной не меняется, то в точке x₀ функция экстремума не имеет.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию f(x) = x³–3x²

Решение:

1) Функция определена для всех R. Найдем производную: f '(x)=3x²–6x.

2) Из уравнения 3x²–6x = 3x(x–2) = 0 получим критические точки функции x₁=0 и x₂=2.

3) Так как при переходе через точку x₁=0 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум.

4) При переходе через точку x₂ =2 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в точке x₂ = 2 у функции минимум.

x	( ;0]	0	[0; 2]	2	[2; + )
f '(x)	+	0	–	0	+
f (x)	↑	fmax(0) = 0	↓	fmin(2) = – 4	↑

Ответ: (0; 0) – точка максимума, (2; -4) – точка минимума;

9.2 ПОРЯДОК НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

1. Найти все критические точки, принадлежащие промежутку [ a,b ], и вычислить значения функции в этих точках.

2. Вычислить значения функции на концах отрезка [ a,b ],т.е.найти f(a) и f(b).

3. сравнить полученные результаты; наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на отрезке [ a,b ]; аналогично, наименьшее из найденных значений есть наименьшее значение функции на этом отрезке.

ПРАКТИКУМ 9

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Экстремум функции Для функции  точка максимума  принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «–».

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …

Решение: Для отыскания точек экстремума найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. Заметим, что производная существует для любого значения х, приравняем ее к нулю, получим: Последнее уравнение имеет корни:  Отметим найденные значения на числовой прямой. Найдем знак производной  на каждом из получившихся промежутков. Точки  и  являются экстремальными, так как при переходе через эти точки производная меняет знак.  – точка минимума, так как производная меняет знак с «−» на «+».

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции: Тогда Так как  то нужно найти только Сравнивая значения  и  определим, что наибольшее значение функции равно 26.

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции: Тогда Так как  то нужно найти только   Сравнивая значения  и  определим, что наибольшее значение функции равно 24.

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции: Тогда Так как найденные значения х принадлежат отрезку  то нужно найти Сравнивая значения  и  определим, что наименьшее значение функции равно 10.

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции. Тогда Так как  то нужно найти только Сравнивая значения  и , определим, что наименьшее значение функции равно 1.

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции: Тогда Так как  то нужно найти только Сравнивая значения  и  определим, что наибольшее значение функции равно 18.

ЗАДАНИЕ N 11 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …

Решение: Заметим, что функция  непрерывна на отрезке  . Найдем значения функции на концах отрезка: Найдем производную данной функции: Тогда Так как  то нужно найти только Сравнивая значения  и  определим, что наибольшее значение функции равно 26.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА 9

ЗАДАНИЕ N 1 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 2 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 3 Тема: Экстремум функции Для функции  точка максимума принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 4 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 5 Тема: Экстремум функции Для функции  точка максимума принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 6 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 7 Тема: Экстремум функции Для функции  точка минимума  принимает значение, равное …

ЗАДАНИЕ N 8 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение функции  на отрезке  равно …

ЗАДАНИЕ N 9 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …

ЗАДАНИЕ N 10 Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции Наименьшее значение функции  на отрезке  равно …