2.Сведение нестационарного ряда к стационарному

Статистические свойства стационарных и нестационарных временных рядов существенно отличаются и для их моделирования должны применяться различные методы.

Моделям стационарных временных рядов уделяется большое внимание, так как многие ряды могут быть приведены к стационарным после операции выделения тренда, сезонной компоненты или взятия последовательной разницы (другое название такого процесса — это интеграция). Под степенью интегрирования понимается порядок разности, который нужно рассчитать для того, чтобы получить стационарный временной ряд.

Запись означает применить оператор взятия последовательной разницы к раз.

Упражнение 3:

Записать полную форму оператора взятия последовательной разницы для:

1. ;

2. .

Формально можно применять оператор сколь угодно раз до тех пор, пока не будет получен стационарный ряд. Эти последовательные разницы надо брать, если визуально можно заметить, что в нестационарном ряду присутствует элемент стационарности — флуктуации ряда (случайное отклонение) стационарны с точностью до сдвига уровня. На практике, как правило, применяется небольшое количество раз — один или два.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, сезонной и случайной компонент.

Рис.5 Объем продаж пиротехники

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма этих компонентов, называются аддитивными моделями:

.

Модели, в которых временной ряд представлен как произведение трендовой, сезонной и случайной компоненты, называются мультипликативными моделями:

.

Основные виды трендов:

• Линейный тренд:

(3);

• Квадратичный тренд:

(4);

• Экспоненциальный тренд:

(5).

Коэффициенты в уравнениях регрессии оцениваются обычным МНК. Чтобы выделить тренд в моделях типа (3) и (4) можно применить обычную технику оценивания параметров регрессионных уравнений, считая — независимой переменной.

После этого мы получим ряд остатков для описания которого можно будет применить модели стационарных временных рядов.

Упражнение 4:

1. Показать что ряд — не стационарный, а после применения оператора взятия последовательной разности ряд становится стационарным;

2. Стационарен ли ряд ? Приводит ли применение оператора взятия последовательной разности первого порядка ряд к стационарному виду? Если нет, то сколько раз необходимо применить оператор последовательной разности, чтобы ряд стал стационарным?

2.1 Выделение и устранение сезонности

В экономических данных сезонность можно выделить с помощью фиктивных (dummy, бинарных переменных, то есть таких переменных которые принимают значения 1 и 0) переменных.

Пример:

Пусть есть ряд квартальных данных :

, где

— фиктивная переменная для кварталов , — потребление продукта в месяц .

Процесс формирования значения функции показан в таблице:

январь	1	0	0	0
февраль	1	0	0	0
март	0	1	0	0
апрель	0	1	0	0
май	0	1	0	0
июнь	0	0	1	0
июль	0	0	1	0
август	0	0	1	0
сентябрь	0	0	0	1
октябрь	0	0	0	1
ноябрь	0	0	0	1
декабрь	1	0	0	0

Тогда такой ряд будет выглядеть следующим образом:

Как и в случае выделения тренда, для выделения сезонной компоненты можно применить обычную технику МНК. После устранения тренда, сезонности и других причин нестационарности из уравнения зависимой переменной в нем должен остаться только белый шум (флуктуация) — .

Введем условное обозначение: (индекс снизу ) — есть устранение сезонности.

Пример: — уравнение временного ряда с полугодовой сезонностью. Чтобы устранить полугодовую сезонность, нужно применить оператор разности первого порядка с лагом, равным величине сезонности, т. е. с лагом равным двум:

,

так как , то

.

Устранение квартальной сезонности осуществляется аналогично:

.

Определение: Для стационарного ряда характерно отсутствие автокорреляции.

Интегрированные автокорреляционные модели скользящих средних «Auto Regression Integrated Moving Average model» (ARIMA)

Модель состоит из трех составляющих:

• Авторегрессия , где – порядок модели или максимальный лаг:

, ~ ;

• Процесс скользящего среднего порядка ,

где — порядок модели, а ~ ;

• Применение последовательной разности порядка (то есть применение оператора раз), .

Тогда модель имеет вид:

.