1.4.1 Случайное блуждание (random walk)
Определение 1: (Уотшем, Парамоу «Количественные методы в финансах») Случайное блуждание — такой процесс, где каждое значение случайной переменной не зависит от всех предыдущих измерений, подчиняется идентичному распределению вероятностей (рис.3 исправить).
Определение
2: (Уотшем,
Парамоу «Количественные методы в
финансах») Случайное блуждание — это
стохастический процесс, где изменения
уровня достигаются прибавлением
случайной переменной
,
с постоянной дисперсией и средней,
равной нулю:
,
~
,
.
Определение 3: (Кремер «Эконометрика») Случайное блуждание — процесс с нулевым математическим ожиданием, при котором последующие значения могут одинаково легко приближаться к нулевому среднему и отдаляться от него.
Рис.3 Случайное Блуждание (Random Walk)
Требуется показать, что ряд не стационарен.
I способ
Для
того чтобы ответить на этот вопрос,
сначала рассмотрим процесс
:
,
~
,
.
Покажем, что этот ряд является стационарным процессом:
,
применим
оператор
к
и так как
,
тогда
,
(1).
По биному Ньютона
,
Тогда из уравнения (1) получим:
.
Так
как выполняется
,
(
),
то
(2),
где
— бесконечная убывающая геометрическая
прогрессия
.
Тогда применив формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии получим:
.
Теперь проверим, выполняются ли для данного ряда условия слабой стационарности:
,
так
как
и
.
Применяя
оператор
к
замечаем, что дисперсию суммы можно
заменить на сумму дисперсий, так как
все остатки независимы друг от друга.
,
Используя свойство идентичности остатков, имеем:
,
если
=
< ∞. (Доказать
в контрольной работе в задаче №9).
Ряд стационарен.
При
и
получаем
— стационарный ряд, «Белый шум»;
При
и
получаем
— «Случайное блуждание». Ряд не
стационарен, так как из-за того, что
и
.
Как
еще отличить
от случайного блуждания? В записи (2)
видно, что влияние возмущений со временем
уменьшается (при
),
то есть возмущение в момент времени
меньше чем в момент
и так далее. При
влияние возмущения со временем не
затухает, то есть возмущения в момент
времени
,
вносят такой же вклад как и t
в момент времени
.
II способ
Покажем без преобразований, что — «Случайное блуждание» — не стационарный процесс.
,
так как
и
,
то ничего конкретно не можем сказать
о том, что
— конечно.При
,если
,
то
при
при
Таким образом, видно, что дисперсия этого процесса бесконечна, то есть процесс не стационарен.
Случайное блуждание является частным случаем более общего стохастического процесса, который называется мартингалом.
! Стохастический процесс описывает изменения переменной (случайной величины), характеризующиеся неопределенностью, то есть в отсутствии информации о вероятностном распределении этой переменной. !
Мартингал является более общим стохастическим процессом потому, что в этом случае случайная величина, хоть и должна обладать нулевым математическим ожиданием, но не обязательно должна иметь постоянную дисперсию, а изменения не обязаны быть независимыми. В общем виде такой процесс можно записать в виде:
Если
Субмартингал — случайное блуждание с «положительным» сдвигом.
Супрамартингал — случайное блуждание с «отрицательным» сдвигом.
Сдвиг
означает
временную тенденцию, а именно — тренд.
Введем оператор последовательной разницы:
,
обозначим
,
тогда случайное блуждание превращается
в процесс
,
а это есть белый шум:
,
,
,
.
Случайное блуждание само по себе не стационарно. Однако если применить к нему оператор взятия последовательной разницы, то получим стационарный ряд: «белый шум» — ряд последовательных разниц первого порядка, где под порядком понимается количество последовательных применений операторов.
В экономике принято использовать индексы. Индекс — единичный описательный статистический показатель, который обобщает относительное изменение одной переменной или группы переменных. Например, индекс, который отражает изменение цен большого количества акций — индекс FTSE 100 — обобщает изменение цен 100 акций, зарегистрированных на Лондонской Фондовой Бирже.
|
|
Рис.4.1 Временной ряд индексов доходности |
Рис.4.2 Временной ряд нормы доходности
|
