1.2 Более компактная (универсальная) запись различных моделей

Для того чтобы сделать модель более компактной используют оператор сдвига (lag operator).

Обозначение оператора сдвига — .

Запись означает сдвиг на один период назад:

.

— эта запись означает применение оператора сдвига к объясняющей переменной в момент времени раз, то есть переменная от момента времени сдвигается влево (назад) на лагов.

Пример:

.

Введем обозначение полиномов оператора сдвига:

, где означает, что оператор применен раз;

— для DL моделей;

, где — оператор, применяемый к остаткам;

.

— запись «Moving Average» (скользящая средняя).

Упражнение. Получить полином оператора сдвига для следующей спецификации MA(q):

.

Имеет ли значение знак перед коэффициентом в спецификации MA(q) и почему?

В общем виде, с использованием операторов полиномов, любая модель временных рядов может быть записана следующим образом:

,

,

.

Если в спецификации модели (конкретной формуле) присутствует только запись , то это означает, что модели относятся к классу AR.

Если в спецификации модели (конкретной формуле) присутствует только запись , то это означает, что модели относятся к классу DL.

Если в спецификации модели (конкретной формуле) присутствует только запись , то это означает, что модели относятся к классу MA.

Задача:

Используя регрессионный аппарат построить зависимость для прогнозирования объема реализации на основе данных о динамике этого показателя (данные в условных единицах):

17, 16, 21, 24, 23, 26, 28.

Дано уравнение регрессии вида

.

В данном примере построена модель временного ряда с использованием зависимости от времени (t).

Для нахождения коэффициентов регрессии поставим задачу МНК:

,

Необходимые условия экстремума:

,

,

.

Построим таблицу и рассчитаем в ней все необходимые коэффициенты.

1	16	17	17,43662	289	17	272	1	16
2	21	16	2,10387	256	32	336	4	42
3	24	21	-0,36444	441	63	504	9	72
4	23	24	0,00000	576	96	552	16	92
5	26	23	0,00000	529	115	598	25	130
6	28	26	0,00000	676	156	728	36	168
21	138	127	19,176	2767	479	2990	91	520

Получим систему уравнений:

.

Решим данную систему методом Гаусса и получим значения искомых коэффициентов для уравнения регрессии:

.

Таким образом, уравнение регрессии примет вид:

.

Результат можно проверить, построив модель в пакете Statistica 6.0.

Для проверки качества модели рассчитывается следующий коэффициент:

Если его значение меньше 15%, то уравнение можно использовать в целях прогнозирования.