9.2 Критерии к принятию оптимальных решений в условиях неопределённости

Существуют и другие критерии к принятию оптимальных решений в условиях неопределённости, используемые, когда нельзя получить распределение вероятностей состояний природы.

Критерий Вальда

При использовании критерия Вальда для каждой стратегии находят минимальное значение выигрыша, соответствующее наихудшему для нас в данном случае состоянию природы, т.е. mina_j. Далее из всех возможных стратегий выбираем ту, для которой минимальный выигрыш максимален, т.е .

Критерий Вальда является пессимистическим, при его использовании ориентируются на наихудшее для нас состояние природы, т.е. природа рассматривается как активно противоборствующий противник.

Критерий Сэвиджа

В этом случае находят минимальное значение риска при самом неблагоприятном состоянии природы, т.е. . С этой целью для каждой стратегии (построчно) по матрице рисков находят максимальные значения риска, а затем выбирают из них минимальное.

Критерий Гурвица

Является комбинированным, учитывающий как оптимистический, так и пессимистический подходы. При использовании этого критерия состояние природы берётся не самым худшим и не самым лучшим, а некоторое промежуточное. При этом за оптимальную принимается стратегия, при которой . Здесь k – коэффициент, характеризующий долю пессимизма и оптимизма (изменяется от 0 до 1).

Коэффициент К выбирается по субъективным соображениям: чем более сложнее ситуация и необходимо застраховаться, тем К ближе к единице. При К = 1 критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда.

Критерий Вальда и Сэвиджа используют при принятии разовых и ответственных решений, а Гурвица и Лапласа – при менее ответственных, когда ситуация (задача) повторяется многократно (например, при оперативном планировании).

Поясним использование различных критериев принятия решения в условиях неопределённости на конкретном примере.

Рудное месторождение разведано редкой сетью скважин (в основном по категории С₁). В связи с дефицитностью сырья необходимо принять решение о мощности рудника, не ожидая окончания детальной разведки. Разведанные запасы месторождения (точнее их математическое ожидание) составляют 40 млн.т. Так как точность подсчёта запасов по категории С₁ составляет ±100%, реально запасы могут изменяться от 20 до 80 млн.т. Рассматриваются возможные варианты запасов 20, 30, 40, 60 и 80 млн.т. (соответственно 1 – 5 состояние природы) и возможности строительства рудника мощностью 2, 3, 4 или 5 млн.т. (соответственно 1 – 4 стратегии). Для каждого варианта мощности при рассматриваемых состояний природы (вариантах запасов месторождений) подсчитаны (с учётом фактора времени) возможные значения суммарной приведенной прибыли. Платежная матрица представлена табл. 9.4.

Таблица 9.4 – Платежная матрица

Вариант мощности млн.т. (стратегия)	Прибыль, млн. грн, для вариантов запасов (состояний природы), млн. т.
	20(1)	30(2)	40(3)	60(4)	80(5)
2(1)	-10	50	65	70	72
3(2)	-40	-20	80	100	105
4(3)	-65	-45	55	120	150
5(4)	-85	-65	35	130	165

Отрицательные значения прибыли, наблюдаемое в ряде случаев, показывает, что в связи с неподтверждением запасов и большими капиталовложениями эксплуатация месторождения убыточна.

Для принятия окончательного решения о мощности рудника требуется рассчитать критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа и математическое ожидание прибыли, задаваясь вероятностями состояния природы (по аналогиями с другими месторождениями).

Принятие решения по критерию Вальда.

В каждой строке берём минимальную прибыль. Во всех случаях в данном примере она соответствует состоянию природы 1 (т.е. когда запасы не подтверждаются максимально). По критерию Вальда наилучшая стратегия 1, при этом потери минимальны (–10 млн. грн.)

Принятие решения по критерию Севиджа.

Построим матрицу рисков (табл.9.5).

Таблица 9.5 – Матрица рисков

Стратегия	Риск, млн. грн., для состояний природы					Максимальная потеря, млн. грн.
	1	2	3	4	5
1	0	0	15	60	93	93
2	30	70	0	30	50	70
3	55	95	25	10	15	95
4	75	115	45	0	0	115

Максимальное значение прибыли для различных состояний природы по столбцам составляют -10, 50, 80, 130, 165 млн. грн. Отнимая от них значения прибыли для различных стратегий, получим матрицу рисков.

В дополнительном столбце матрицы рисков показывается максимальное значение риска (потери) для каждой стратегии. Минимальное значение риска (70) наблюдается при использовании стратегии 2. В этом случае (при строительстве рудника мощностью 2 млн.т.) потери прибыли из-за недостатка информации не превысят 70 млн.руб. Итак, по критерию Сэвиджа наилучшая стратегия 2.

Принятие решения по критерию Гурвица.

Допустим, что уменьшение и увеличение запасов равновероятно, т.е. k = 0,5. Максимальное значение выигрыша в данной задаче во всех случаях соответствует максимальному количеству запасов (состояние природы 5) и соответственно для разных стратегий равно 72, 105, 150 и 165 млн. грн.

Тогда значение критерия Гурвица для различных стратегий равно:

Г₁ = – 100,5 + 720,5 = 31,0,

Г₂ = – 400,5 + 1050,5 = 32,5,

Г₃ = – 650,5 + 1500,5 = 42,5,

Г₄ = – 850,5 + 1650,5 = 40,0.

По критерию Гурвица (при k = 0,5) наилучшая стратегия 3, т.е. необходимо строительство рудника мощностью 4 млн.т.

Принятие решения по критерию Лапласа.

При равной вероятности различных состояний природы (Р₁ = Р₂ = Р₃ = Р₄ = Р₅ = 0,2) математическое ожидание прибыли при различных вариантах мощности рудника составит:

Л₁ = – 100,2+500,2+650,2+700,2+720,2=43,4;

Л₂ = – 400,2+(–20)0,2+800,2+1000,2+1050,2=45,0;

Л₃ = – 650,2+(–45)0,2+550,2+1200,2+1500,2=43,0;

Л₄ = – 850,2+(–65)0,2+350,2+1300,2+1650,2=35,0.

Лучшая по критерии Лапласа – стратегия 2.

Принятие решения при принятом распределении вероятностей состояний природы.

По аналогии с другими месторождениями обычно наблюдается нормальный закон распределения ошибки подсчета запасов. Примем вероятности состояния природы равными соответственно 0,12; 0,25; 0,3; 0,25; 0,08. Тогда математическое ожидание прибыли при разных вариантах мощности рудника составит:

Т₁ = – 100,12 +500,25 +650,3 +700,25+720,08=54,06;

Т₂ = – 400,12+(–20)0,25+800,3+1000,25+1050,08=47,4;

Т₃= – 650,12+(–45)0,25+550,3+1200,25+1500,08=39,45;

Т₄ = – 800,12+(–65)0,25+350,3+1300,25+1650,08=29,75.

При принятом распределении вероятностей состояний природы лучшая стратегия 1.

Таким образом, по критериям Вальда, Лапласа и при принятом распределении вероятностей состояний природы лучшая стратегия 1 (вариант строительства рудника мощностью 2 млн.т.), по критерию Севиджа и Лапласа – 2, а по критерию Гурвица – 3.

Если учитывать, что принимается ответственное, разовое решение, а так же ограниченность капитальных вложений и возможность дальнейшего поэтапного наращивания мощности рудника (с уточнением запасов), то для рассматриваемой задачи предпочтение следует отдать стратегии 1, т.е. должен строиться рудник мощностью 20 млн. т.

Вопросы для самоконтроля по девятой лекции

1. Как формулируется основная задача теории статистических решений?

2. Что в теории статистических решений подразумевается под понятием «состояние природы»?

3. Какую информацию несет платежная матрица или матрица выигрышей?

4. Какую информацию несет матрица рисков?

5. Как выбирается оптимальное решение в случае, когда имеется информация о вероятности «состояния природы»?

6. Раскрыть критерий Лапласа и конкретизировать ситуацию принятия оптимального решения по этому критерию.

7. Раскрыть критерий Вальда и конкретизировать ситуацию принятия оптимального решения по этому критерию.

8. Раскрыть критерии Севиджа и Гурвица и конкретизировать ситуацию принятия оптимального решения по этому критерию.