Лекция 8. Обобщенные критерии оптимизации

8.1 Объединение в один отклик двух или нескольких критериев оптимизации.

В большинстве случаев приходится решать задачу по объединению в один отклик двух или нескольких критериев оптимизации. Трудность такой операции заключается в том, что критерии имеют разный физический смысл и размерность.

Здесь на помощь приходят специальные приемы.

Пусть, например, объект имеет n выходных параметров y₁, y₂, y₃,…, y_n, характеризующих его. Введем простейшее преобразование: составим шкалу из двух значений: одно из них 0. Другое – 1. Для каждого значения y_i определим допустимое значение y_id. В случае отклонения в сторону ослабления выходного параметра в шкале проставляется 0. Если же параметр удовлетворяет допустимому значению, то проставляется единица. Обобщенный показатель рассчитывается по формуле:

.

(8.1)

Легко заметить, что если один из преобразованных выходных параметров оказывается равным нулю, то и обобщенный критерий также равняется нулю, т. е. не отвечает требованиям, предъявленным к объекту.

Такой метод нашел применение при оценке технических параметров, свойств изделий и др.

Рассмотрим пример. Создана полимерная обсадная труба, ее качество оценивается пятью параметрами, термостойкостью композиции – y₁, мин; морозостойкостью – y₂, °С; модулем упругости при +20°С – y₃, МПа; пределом прочности при растяжении y₄, МПа; числом перегибов до разрушения – y₅.

Введем следующие ограничения:

при y₁ > 100 принимаем 1;

при y₁ ≤ 100 принимаем 0;

при y₂ > – 18 принимаем 1

при y₂ ≤ – 18 принимаем 0

при y₃ > 12 принимаем 1

при y₃ ≤ 12 принимаем 0

при y₄ > 20 принимаем 1

при y₄ ≤ 20 принимаем 0

при y₅ > 200 принимаем 1

при y₅ ≤ 200 принимаем 0

Данные эксперимента приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1 – Данные эксперимента, значения частных откликов, преобразованные частные отклики, обобщенные отклики

№ Образца	Значения частных откликов					Преобразованные частные отклики					Обобщенные отклики
	y1	y2	y3	y4	y5	y1	y2	y3	y4	y5	Y
1	170	-19	16,1	20,4	213	1	1	1	1	1	1
2	190	-24	9,8	19,3	248	1	1	0	0	1	0
3	131	-25	10,3	20,9	271	1	1	0	1	1	0
4	204	-29	10,7	19,7	242	1	1	0	0	1	0

Обобщенный критерий равен:

.

Подстановка частных параметров позволяет сделать вывод о том, что только первый образец испытанных груб из 4 отвечает установленным требованиям.

Можно упростить задачу и исключить второстепенные требования, если таковые имеются. Однако и в этом случае может наблюдаться несоответствие установленным требованиям.

Приведенный пример показывает, что требуется тщательное и обоснованное установление допустимых границ изменения параметров.

В ряде случаев исследователю известен «идеал» того или иного параметра – y_i0. В этом случае достаточно сравнить его с текущим значением y_i. Другими словами: Δy_i = y_i0 – y_i.

Величина Δy_i характеризует меру близости к «идеалу». Однако такой подход для различных параметров, имеющих различную размерность, не приемлем. Поэтому рассчитывается отношение .

С целью нивелирования знаков это отношение возводится в квадрат, тогда обобщенный критерий оптимизации рассчитывается по формуле:

.

(8.2)

Если Δ_yi = y_i0–y_i = 0, то это характеризует идеальное значение данного выходного параметра. Обратим внимание, что в данном случае обобщенный критерий считается оптимальным, если он имеет минимальное значение.

Недостатком этого метода является нивелировка выходных параметров. На практике они бывают далеко не равноценны. Этот недостаток устраняется введением некоторого веса для каждого параметра:

.

(8.3)

Причём, и a_i > 10.

Обоснование величины веса a_i, требует учета имеющегося опыта. Здесь приходится в основном опираться на опыт экспериментаторов. Часто такая формализация состоит в использовании метода экспертных оценок.