7.2 Аддитивные критерии в многокритериальных задачах.

Аддитивные критерии предусматривают образование целевой функции путем сложения значений частных критериев. При этом следует оперировать не с «натуральными», а с нормированными частными критериями, представляющими собой отношение «натурального» частного критерия к некоторой нормированной величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий. Выбор величины нормированного показателя может быть обоснован в следующих двух подходах.

Первый подход предполагает принимать в качестве нормированного критерия некоторое значение, директивно заданное заказчиком. Слабым моментом является негласное предположение того, что такое заданное нормированное значение является оптимальным.

Второй подход предполагает принимать в качестве нормированного делителя некоторое максимальное значение, достигнутое в области принимаемых решений.

Возможен еще один подход, когда в качестве нормированного делителя принимается разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Целевая функция оптимизации имеет вид:

.

(7.2)

где с_i – весовой коэффициент i-го частного критерия; F_i(x) – натуральное значение частного критерия; F_i⁰(x) – i-ый нормирующий делитель; f_i(х) – нормированное значение i-го частного критерия.

Функция (7.2) позволяет осуществлять компромисс, когда улучшение одного критерия компенсирует ухудшение значений других. Весовые коэффициенты учитывают различную значимость частных критериев. Определение весовых коэффициентов осуществляется на основании методов экспертных оценок и других формальных процедур и носит субъективный характер. Это первый недостаток аддитивных критериев.

Другим их недостатком является взаимная компенсация частных критериев. Например, значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нуля может быть перекрыто возрастанием других. Ослабить этот недостаток можно, если ввести ограничения на минималь­ные значения частных критериев и их весовые коэффициенты.

В целом ряде случаев целесообразно оперировать не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частых критериев.

Таким образом, функция (7.2) осуществляет компромисс, при котором ухудшение одних нормированных частных критериев компенсируется улучшением других.

Составление аддитивных критериев выступает как формальный математический прием, обеспечивающий задаче удобный для решения вид.

7.3 Мультипликативные критерии в многокритериальных задачах.

Если аддитивные критерии основаны на использовании принципа справедливой компенсации абсолютных значений нормированных частных критериев, то мультипликативные критерии оперируют не с абсолютными, а с относительными изменениями значений частных критериев.

Что же следует считать справедливым компромиссом?

Справедливым следует считать такой компромисс, когда суммарный уровень относительного снижения значения одного или ряда критериев не превышает суммарного уровня относительного увеличения значений других критериев.

Математическая формула условия оптимальности на принципе справедливой компенсации имеет вид:

,

(7.3)

где ΔF_i(x) – приращение i-го критерия; F_i(x) – первоначальное значение i-го критерия.

Представим (7.3) в виде дифференциала натурального логарифма:

.

(7.4)

Анализ выражения (7.4) позволяет сформулировать обобщённый мультипликативный критерий оптимальности:

.

(7.5)

Мультипликативный критерий образуется путём простого перемножения частных критериев.

В случае, когда параметры имеют различную важность, в них вводятся весовые коэффициенты с_і:

.

(7.6)

Рассмотрим пример. Требуется оценить два режима бурения в сходных горно-геологических условиях буровым инструментом одного типа. При первом режиме были получены следующие показатели: средняя скорость бурения – 4 м/час, проходка на коронку 20 м, выход керна – 80%.

Второй режим обеспечил соответственно следующие результаты: 6 м/час, 15 м и 70%. Примем полученные показатели за частные критерии, тогда получаем:

F(x₁) = 4^.20^.80 = 6400.

F(x₂) = 6^.15^.70 = 6300.

Из этого следует, что предпочтение следует отдать первому режиму бурения.

Теперь рассмотрим случай, когда одному или нескольким из частных критериев присваивается более высокий весовой коэффициент.

Пусть для условий поставленной задачи выход керна является параметром более важным, чем все остальные. На основании этого вводим для этого частного критерия весовой коэффициент с = 2. Тогда:

F(x₁) = 4^.20^.80² = 512000.

F(x₂) = 6^.15^.70² = 441000.

Таким образом, введение весового коэффициента в ещё большей степени определило преимущества первого режима бурения.

Мультипликативные критерии не требуют нормирования, но имеют недостаток, заключающийся в том, что они компенсируют недостаточную величину одного частного критерия избыточной величиной другого, сглаживают неравнозначные их первоначальные значения.

При рассмотрении сложных объектов и наличии большого числа частных критериев довольно трудно, а иногда и невозможно установить аналитическую взаимосвязь между ними.

Принцип максимальных критериев оптимизации основан на идее равномерного компромисса, когда стараются найти такие значения переменных , при которых нормированные значения всех частных критериев становятся равными между собой:

,

(7.7)

Введение весовых коэффициентов важности трансформирует выражение (7) в соотношение:

.

(7.8)

Принцип максимализма заключается в такой вариации переменных х, при которых последовательно повышаются нормированные параметры, численные значения которых в начальном положении оказались наименьшими. Это неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев.

При определённой повторяемости таких операций происходит выравнивание противоречивых частных критериев. Таким образом, принцип максимина формулируется следующим образом: необходимо выбрать некоторое значение х⁽⁰⁾ X, на котором реализуются максимум из минимальных значений частных критериев. Принцип выбора х⁽⁰⁾ иногда называют принципом гарантированного результата, заимствованным из теории игр.

При минимизации частных критериев f_i(x) самым «слабым» критерием является тот, который принимает максимальное значение. Формулировка принципа равномерной компенсации имеет вид:

.

(7.9)

Принцип минимакса может интерпретироваться геометрически, когда каждый вариант объекта с n частными критериями представлен в пространстве в виде точки а множество вариантов может быть отображено в конечном множестве точек, заключенных в выпуклую оболочку. Область принятия решений при этом ограничена выпуклой оболочкой в пространстве.

Вопросы для самоконтроля по седьмой лекции.

1. Как формулируется принцип компромисса по Парето?

2. Прокомментируйте формирование области компромиссных решений на примере определения оптимального значения одной непрерывной переменной по двум критериям.

3. Что выполняется на первом и втором этапах принятия компромиссного решения при оптимизации многокритериальных задач?

4. Что понимается под понятием «уступка» применительно к конкретному критерию многокритериальной оптимизационной задачи, и на каком этапе ее решения она назначается?

5. Раскройте понятие «аддитивный критерий».

6. Раскройте понятие «нормированный частный критерий» и охарактеризуйте подходы при его выборе.

7. Назовите основные недостатки аддитивных критериев.

8. Раскройте понятие «мультипликативный критерий».

9. Назовите основное отличие мультипликативного критерия от аддитивного.

7. Как выглядит общий вид записи мультипликативного критерия оптимальности?

8. Как поступают в том случае, если сомножители мультипликативного критерия имеют разную важность?

9. Что понимается под равным компромиссом?

10. Где находят применение методы многокритериальной оптимизации?