7.2. Задачи для самостоятельного решения

а) Даны векторы = (1, 1, -3), = (-2, 2, 1) и = (3, -2, 5). Вычислить .

б) В треугольной пирамиде с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 0, 2), С(2, 2, 2) и D(3, 4, -3) вычислить высоту h = | |.

в) Доказать, что четыре точки А(1, 2, 1), В(0, 1, 5), С(-1, 2, 1) и

D(2, 1, 5) лежат в одной плоскости.

8. Прямая на плоскости

8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости

Общее уравнение прямой имеет вид

Ах + Ву + С = 0, (8.1)

причем вектор = (А, В)  0. Вектор является ортогональным к прямой (8.1) и его называют вектором нормали. Если С = 0, то прямая (8.1) проходит через начало координат. Если же С  0, то после деления уравнения (8.1) на (-С) получаем уравнение прямой в отрезках

(8.2)

где ; , причем (а, 0) и (0, b) - координаты точек пересечения прямой (8.2) с осями координат.

Пример. Составим уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 0,2 , -0,1.

Воспользовавшись уравнением (8.2), имеем

или 5х - 10у - 1 = 0.

Если в уравнении (8.1) В = 0, то прямая параллельна оси Оy. Если же

В  0, то уравнение (8.1) можно преобразовать к уравнению прямой с угловым коэффициентом

у = kх + b, (8.3)

где , причем k = tg, а  - угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член b в (8.3) - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Примеры.

а) Составим уравнение прямой, отсекающей от оси Оу отрезок b= -3 и образующей с этой осью угол  = /6.

Заметив, что , из уравнения (8.3) выводим у = х·tg  - 3 = х·tg(/2 -/6) - 3 = .

б) Представим общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 в виде уравнения в отрезках и уравнения с угловым коэффициентом.

Разрешив общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом: у = 2,4х - 13 (k = -12/-5=2,4, b = -(-65/-5)= -13).

Разделив общее уравнение прямой на 65 и перенеся 1 направо, получим уравнение в отрезках: (а = 65/12, = - 13).

Если заданы две прямые:

А₁х + В₁у + С₁ = 0 или у = k₁х + b₁,

А₂х + В₂у + С₂ = 0 или у = k₂х + b₂,

то для острого угла  между ними справедливы формулы:

(8.4)

(8.5)

Отсюда легко получаем условия параллельности прямых:

А₁/А₂ = В₁/В₂ или k₁ = k₂ (8.6)

и ортогональности прямых:

А₁А₂ + В₁В₂ = 0, или k ₁ = - 1/ k₂. (8.7)

Примеры.

а) Определим острый угол между прямыми у = -3х + 7 и у = 2х + 1.

Из формулы (8.5) имеем

tg  = |(2 - (-3))/(1 + (-3)2)| = 5/5 = 1,  = /4.

б) Покажем, что прямые 4х - 6у + 7 = 0 и 20х - 30у - 11 = 0 параллельны.

Из условий (8.6) имеем 4/20 = (-6)/(-30) = 1/5, т.е. прямые параллельны.

в) Покажем, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 ортогональны.

Применяя условие ортогональности (8.7), имеем 3∙10 - 5∙6 = 0 и делаем заключение об ортогональности прямых.

Уравнение прямой, проходящей через точку (х₀, у₀) записывается в виде

А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0 (8.8)

или

у - у₀ = k (х - х₀) . (8.9)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (х₀, у₀) и (х₁, у₁) записывается в виде

или (8.10)

Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки

(-1, 3) и (2, 5).

Из (8.9) имеем или (х + 1)/3 = (у - 3)/2, или

2х - 3у + 11 = 0.