38. Показательный закон распределения и его характеристики, пример.

ОПР. 7.5. Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид .Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и в теории надежности. График плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, выглядит так:

График функции распределения вероятности непрерывной случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, выглядит так:

Теорема .

1. Функция распределения случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, имеет вид:

2. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, равно M(X)=1/λ;

3. Дисперсия случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, равна D(X)=1/λ²;

4. Среднее квадратичное отклонение случайной величины X, имеющей показательный закон распределения, равно ее математическому ожиданию, т.е. σ_x=1⁄λ.

Пример. Время ремонта телевизора есть случайная величина Х - распределенная по показательному закону. Вероятность того что на ремонт телевизора потребуется не меньше 20 дней, если среднее время работы 15 дней.

Решение. λ=1/15; М(Х)=15; ;

σ_x=М(Х)=15; D(Х=1/225)

Р(Х≥20)=1-Р(Х<20)=1-(1-е^-20/15)=0,264

38. Нормальное распределение и его числовые характеристики, пример.

ОПР. 7.6. Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами a и σ², если ее плотность вероятности имеет вид .

Является предельным законом, к которому приближаются другие законы. Иногда его еще называют гауссовым законом распределения. Функция φ_N(x) называется функцией Гаусса и для нее составлены таблицы значений. Кривая нормального распределения (плотности вероятности) имеет симметричный «холмообразный» вид.

График функции распределения вероятности непрерывной случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, выглядит так:

Можно заметить, что в выражении плотности вероятности нормального закона распределения параметры а и σ²это есть математическое ожидание и дисперсия.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, равно M(X)=a;

Дисперсия случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, равна D(X)= σ²;

Среднее квадратичное отклонение случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, равно σ_x=σ.

Нормальный закон распределения с параметрами а=0, σ²=1 называют стандартным или нормированным.

Теорема .Функция распределения случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по формуле:

Вероятность попадания случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, в интервал [x₁,x₂] равна: P(x₁≤X≤x₂)=0.5(Ф(t₂)-Ф(t₁))

t₁=(x₁-a)/ , t₂=(x₂-a)/ 𝜎

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, имеющей нормальный закон распределения, от ее математического ожидания а не превысит величину ∆ (по абсолютной величине), равна P(|X-a|≤∆)=Φ(t), где t=∆/𝜎.

Если вычислить вероятности P(|X-a|≤∆) при различных значениях ∆, то получится следующее:

∆=𝜎, P(|X-a|≤𝜎)=Φ(1)=0,6827;

∆=2𝜎, P(|X-a|≤2𝜎)=Φ(2)=0,9545;

∆=3𝜎, P(|X-a|≤3𝜎)=Φ(3)=0,9973.

Из этих равенств вытекает так называемое правило «трех сигм»:

Лемма . Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ², то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (а-3𝜎; а+3𝜎).

Пример. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами а=173 и 𝜎²=36. Найти а)выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х; б) доли костюмов 4-ого роста (176-182) и 3-го роста (170-176), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

Решение. a)P_N(x)-?

F_N(x)-?

б) P(176≤X≤182)=0.5(Ф(t₂)-Ф(t₁))= 0.5((176-173)/6)-((182-173)/6)=0.2418

P(170≤X≤176)

173-3≤X≤173+3 → -3≤X-173≤3 →|X-173|≤3

P(170≤X≤176)=P(|X-173|≤3)=Ф(3/6)=0.3829