29. Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величин.

ОПР.Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений, т.е. М[Х]=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+….

Смысл математического ожидания заключается в том, что около него колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной Х в больших сериях опытов. Или иначе, математическое ожидание есть среднее взвешенное значение случайной величины Х, в которое абсцисса каждой точки х_i входит с весом, равным соответствующей вероятности.

Замечание. Чаще всего на практике сумма для подсчета математического ожидания конечная, т.е. М[Х]=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n. Но бывает и так, что этот ряд бесконечен, и в общем случае, его сумма может быть бесконечной или не существовать вовсе. Тогда считают, что у случайной величины не существует математического ожидания.

ОПР. Если Х – непрерывная случайная величина, имеющая плотность вероятности f(x), то ее математическим ожиданием называется

Смысл математического ожидания для непрерывной случайной величины тот же: это центр массы для единичной массы, распределенной непрерывно на оси абсцисс с плотностью f(x).

30. Свойства математического ожидания.

ОПР.Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений, т.е. М[Х]=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+….

Справедливы следующие свойства математического ожидания случайной величины:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. M[C]=C;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания M[k∙Х]=k∙M[Х];

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е. M[X+Y]=M[X]+M[Y];

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин (две случайные величины независимы, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая случайная величина) равно произведению их математических ожиданий, т.е. M[X∙Y]=M[X]∙M[Y];

5. Если все значения случайной величины увеличить на постоянную С, то на эту же постоянную увеличится математическое ожидание случайной величины M[X+C]=M[X]+C;

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: M[X-M(X)]=0.

31. Дисперсия дискретной и непрерывной случайной величин. Среднее квадратичное отклонение.

ОПР.Дисперсией D[X] дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, т.е. D[X]=М[X-M(X)]².

Замечание. Если взять просто отклонение случайной величины от ее математического ожидания (без квадрата), то математическое ожидание такого отклонения будет равно нулю.

ОПР.Средним квадратичным отклонением (стандартным отклонением) σ_x случайной величины Х называется арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, т.е. 𝜎_x=√D[X].

ОПР. Если f(x) – плотность распределения непрерывной случайной величины, то называется дисперсией этой случайной величины.

В частности если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то

На практике бывает удобно пользоваться равносильной формулой: .

ОПР. Случайная величина называется нормированной, если ее математическое ожидание равно нулю, и дисперсия равна единице.

Дисперсия характеризует степень разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, а среднее квадратичное отклонение есть средняя характеристика самой дисперсии.