25. Дискретные случайные величины. Математические операции над независимыми дискретными случайными величинами.

ОПР. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений {x₁, x₂, …, x_n} счетно, т.е. можно «пронумеровать».

Дискретную случайную величину можно задать с помощью таблицы:

x1	x2	x3	x4	…
p1	p2	p3	p4	…

Такую таблицу обычно называют законом распределения дискретной случайной величины X.

Математические операции над случайными величинами

ОПР. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

В частности, если есть две дискретные случайные величины X={x₁,x₂,…,x_n} и Y={y₁, y₂, …,y_m}, их независимость означает независимость событий X=x_i, Y=y_j при любых значениях i и j.

Пусть есть две случайные величины X={x₁,x₂,…,x_n} и Y={y₁, y₂, …, y_m}, а k – действительное число.

ОПР. Произведением kX случайной величины X на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i.

ОПР. Суммой (разностью) случайных величин X и Y называется случайная величина, которая принимает всевозможные значения вида x_i+y_j (x_i-y_j) с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение x_i, а случайная величина Y примет значение y_j (i=1,2,…n; j=1,2,…m).

ОПР. Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, которая принимает всевозможные значения вида x_i∙y_j с вероятностями p_ij того, что случайная величина X примет значение x_i, а случайная величина Y примет значение y_j (i=1,2,…n; j=1,2,…m).

ОПР. l-той степенью X^l случайной величины X называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями p_i.

Замечание. Для суммы, разности, произведения и степени случайных величин необходимо учитывать, что если среди получаемых значений x_il, x_i+y_j (x_i-y_j), x_i∙y_j встретятся одинаковые, то соответствующие вероятности надо сложить, приписав повторяющемуся значению суммарную вероятность.

26. Дискретные случайные величины. Таблицы и многоугольник распределения. Особенности функции распределения дискретной случайной величины, примеры.

ОПР. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений {x₁, x₂, …, x_n} счетно, т.е. можно «пронумеровать».

Дискретную случайную величину можно задать с помощью таблицы:

x1	x2	x3	x4	…
p1	p2	p3	p4	…

Такую таблицу обычно называют законом распределения дискретной случайной величины X.

Если задана дискретная случайная величина, то ее закон распределения, заданный с помощью таблицы, называют также рядом распределения дискретной случайной величины.

Графическим изображением ряда распределения является многоугольник распределения. Строится он так: для каждого возможного значения случайной величины xi (i=1,2,…,n) восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения случайной величины. Полученные точки для наглядности соединяют отрезками.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице. На интервалах между скачками функция распределения сохраняет постоянное значение.

Пример. Рассматривается работа трех независимых работающих технических устройств. Вероятность нормальной работы ТУ-1 = 0,2; вероятность нормальной работы ТУ-2 = 0,4; вероятность нормальной работы ТУ-3 = 0,5. Случайная величина X – число работающих ТУ. Построить ряд распределения случайной величины X, найти ее функцию распределения и построить график этой функции.

Решенине. Возможные значения случайной величины X={0, 1, 2, 3}. Соответствующие им вероятности найдем, пользуясь теоремами сложения и умножения вероятностей. Для краткости будем обозначать работающее ТУ знаком «+», а неработающее ТУ знаком «–».

Тогда p1=P{X=0}=P(– – –)=0,8∙0,6∙0,5=0,24; p2=P{X=1}=P(+ – –) + P(– + –) + P(– – +)=0,2∙0,6∙0,5+0,8∙0,4∙0,5+0,8∙0,6∙0,5=0,46; p3=P{X=2}=P(+ + –) + P(+ – +) + P(– + +)=0,2∙0,4∙0,5+0,2∙0,6∙0,5+0,8∙0,4∙0,5=0,26; p4=P{X=3}=P(+ + +)=0,2∙0,4∙0,5=0,04. Проверяем, что сумма всех вероятностей равна 1.

Закон или ряд распределения заданной случайной величины имеет вид:

xi	0	1	2	3
pi	0.24	0.46	0.26	0.04

Найдем теперь функцию распределения этой случайной величины. Будем задавать различные значения x и находить для них F(x)=P{X<x}. Так как четыре значения xi разбивают числовую прямую на пять интервалов, то рассмотрим значения x на этих интервалах:

Пусть x≤0; так как число работающих ТУ не может быть отрицательным, то для таких значений F(x)=0.

Пусть 0<x≤1; F(1)=P(X<1)=P{X=0}=0,24.

Пусть 1<x≤2; F(2)=P(X<2)=P{X=0}+P{X=1}=0,24+0,46=0,7.

Пусть 2<x≤3; F(3)=P(X<3)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0,24+0,46+0,26=0,96.

Пусть x>3; F(x0)=P(X<x0,x0>3)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}= =0,24+0,46+0,26+0,04=1.

Изобразим график этой функции.

Функция распределения имеет четыре скачка. Эти скачки происходят в точках, отвечающих четырем различным значениям случайной величины и по величине равны вероятностям этих значений. Между скачками функция распределения сохраняет постоянное значение.