38. Интервальные оценки параметров распределения.

Поставим другую задачу: оценить параметр распределения с помощью интервала, т.е. что некий параметр распределения попадает в интервал (a,b) с заданной вероятностью . При этом  называется доверительной вероятностью, а интервал (a,b) доверительным интервалом.

Построим такой доверительный интервал с доверительной вероятностью  для нормального распределения с параметрами m=M(X) (математическое ожидание величины X) и σ (среднее квадратичное отклонение).Отыскание такого интервала разбивается на два случая: а) когда σ известно; б) когда σ неизвестно. Рассмотрим каждый случай.

а) Пусть σ известно. Тогда для математического ожидания m доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности αбудет интервал

Здесь – эмпирическое среднее, σ – среднее квадратичное отклонение, t_α– значение, которое

находят, решая уравнение 2Ф(t_α)=α . Φ(t) – функция Лапласа, для которой имеются табличные значения.

б) Пусть теперь σ неизвестно. Тогда для математического ожидания m доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности α будет интервал

Здесь – средняя арифметическая, – квадратный корень из несмещенной эмпирической дисперсии, t_α – значение, которое находят, решая уравнение

Здесь S_n-1(t) – функция Стьюдента, для которой также имеются табличные значения.