38. Меры центральной тенденции (средняя арифметическая, мода, медиана, размах) ряда данных.

ОПР. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех значений вариационного ряда на соответствующие частоты, деленная на сумму частот: ,где x_i – значения вариационного ряда или середины интервалов интервального вариационного ряда, n_i – соответствующие им частоты, m – число неповторяющихся значений вариационного ряда или число интервалов, n – сумма всех частот.

Основные свойства средней арифметической подобны свойствам математического ожидания случайной величины. Теорема Справедливы следующие свойства средней арифметической:

Средняя арифметическая постоянной величины равно самой постоянной;

1. Постоянный множитель можно выносить за знак средней арифметической, т.е.

2. Средняя арифметическая алгебраической суммы двух признаков равно сумме их средних арифметических, т.е.

3. Если все значения вариационного ряда увеличить на постоянную С, то на эту же постоянную увеличится средняя арифметическая, т.е. .

4. Средняя арифметическая отклонений значений вариационного ряда от средней арифметической равно нулю:

ОПР. Медианой Me вариационного ряда называется значение, приходящееся на средину этого ряда.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному значению, для ряда с четным числом членов она равна полусумме двух серединных значений.

Для интервального вариационного ряда находят медианный интервал, т.е. интервал, на который приходится середина ряда, а значение медианы на этом интервале находят специальным методом: линейного интерполирования.

ОПР. Модой Mo вариационного ряда называется такое значение вариационного ряда, которому соответствует наибольшая частота.

ОПР. Вариационным размахом ряда называется разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда: R=x_max-x_min.

Дисперсия ряда числовых данных.

ОПР. Эмпирической дисперсией s²вариационного ряда называется средняя арифметическая квадратов отклонений значений ряда от их средней арифметической:

Теорема Справедливы следующие свойства эмпирической дисперсии вариационного ряда:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е. s²(kx)=k²·s²(x);

3. Если все значения вариационного ряда изменить на одно и то же число, то дисперсия не изменится, т.е. s²(x+c)=s²(x)=s²;

4. Дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов значений вариационного ряда и квадратом средней арифметической:

43.Точечные оценки параметров распределения.

На практике часто встречаются задачи, когда закон распределения признака некоторой генеральной совокупности известен, но требуется найти или оценить некоторые его параметры, числовые характеристики (среднюю арифметическую или дисперсию). Например, если известно, что случайная величина распределена по нормальному закону, то бывает необходимо найти или оценить его параметры a и σ². Для отыскания подобных параметров распределения применяют различные оценки.

ОПР. 2.1. Оценкой 𝚯 параметра τ называют всякую функцию результатов наблюдения за случайной величиной X, с помощью которой судят о значении параметра τ.

Какими свойствами должна обладать оценка 𝚯, чтобы наиболее точно характеризовать значение признака в генеральной совокупности? Естественно предъявить к оценке ряд требований.

1. Желательно, чтобы, пользуясь оценкой 𝚯 вместо τ, не случалось ошибок ни сторону завышения, ни сторону занижения, т.е. чтобы выполнялось

M[𝚯]=τ.

ОПР. 2.2. Оценка, удовлетворяющая условию M[𝚯]=τ, называется несмещенной.

2. Желательно, чтобы с увеличением числа проводимых опытов значения 𝚯 концентрировались вокруг τ все более тесно, т.е. чтобы D[𝚯]→0 при n→∞.

ОПР. 2.3. Оценка, удовлетворяющая условию D[𝚯]→0 при n→∞, называется состоятельной.

Оценка для математического ожидания.

Пусть имеется генеральная совокупность значений некоторой случайной величины X. Найти математическое ожидание этой случайной величины при больших количествах опытов бывает затруднительным. Поэтому составим выборку x₁, x₂, …, x_n значений, затем составим вариационный ряд, для которого можно вычислить среднюю арифметическую , где x_i – значения случайной величины, а n_i – частота значения x_i, которая будет являться некоторой оценкой 𝚯 для математического ожидания всей генеральной совокупности. Исследуем среднюю арифметическую на смещенность и состоятельность.

Вычислим математическое ожидание и дисперсию средней арифметической. . Итак выполняется условие , т.е. математическое ожидание арифметической средней равно математическому ожиданию случайной величины X, то есть оценка несмещенная.

Вычислим дисперсию арифметической средней: при n→∞.Так как выполняется условие При n→∞ т.е. дисперсия арифметической средней стремится к нулю с ростом n , значит, эта оценка состоятельная.

Оценка для дисперсии.В качестве оценки дисперсии используется эмпирическая дисперсия, обозначаемая s², которая является средним арифметическим квадратов отклонений от арифметической средней.

Аналогично тому, как это было сделано выше, показывается, что эмпирическая дисперсия является состоятельной оценкой. Однако выясняется, что она является смещенной относительно D.

Поэтому более точно будет использовать формулу , которая называется несмещенной эмпирической дисперсией.

Несмещенная и смещенная эмпирические дисперсии связаны соотношением .

На практике же вычисление оценки удобнее производить с помощью формулы