лекции, учебные пособия / лекции, отформатированная 2 часть / ЛекцииЧ1

31

Однозначно интерпретируем идеальный вектор качества, задающий то совокупное качество, которое следует обеспечить проектируемой системой (а не неким гипотетически идеальным набором значений параметров, достижение которых может быть недостижимым в совокупности).

На идеальный вектор (величину и расположения) никак не сказывается выбор сравниваемых между собою вариантов.

Не требуется как-либо дополнительно учитывать относительную важность параметров, так как она подсознательно задается разработчиком при формировании требуемого качества системы при проектировании.

32

Игровые системы

Элементы теории игр

В оптимизационных задачах, отличающихся описанием игровой моделью, когда 2 или более игроков с определенным уровнем интеллекта (эвристики) принимают участие в игре с целью получения максимального выигрыша, для оценки возможного поведения игроков используется математический аппарат теории игр. Итак, аппарат теории игр применяется в том случае, когда игроку требуется выработать собственную стратегию поведения и спрогнозировать возможное поведение других игроков. Данные задачи широко распространены в приложениях, связанных с коллективно используемыми ресурсами (классический пример – вычислительный центр, предполагающий сдачу машинного времени в аренду).

Наибольший интерес вызывают антагонистические игры – где выигрыш одного игрока означает проигрыш другого. Игра описывается платежной матрицей.

Элементом матрицы является выигрыш игрока А (если это проигрыш игрока А, то значение будет отрицательным) при выборе игроками А и В стратегий поведения соответствующих строке и столбцу, на пересечении которой расположен выигрыш. В зависимости от исследуемой игры, элементом матрицы могут являться различные физические величины.

Особый класс игр представляют игры с седловой точкой, отличающиеся тем, что ни одному из игроков не имеет смысла изменять выбранную им стратегию поведения, так как при этом оба игрока только проиграют. Подобные стратегии называются чистыми. На практике широко используется пессимистическая оценка, определяющая поведение игроков, для получения ими наибольшего гарантированного выигрыша (наименьшего гарантированного проигрыша). Т.е. работает принцип «хуже не будет».

Для этого используются максиминный (максимальный из минимальных выигрышей) и минимаксный (минимальный из максимальных проигрышей) критерии:

max min ai, j

ij

min max ai, j

ij

Игра седловой точкой задается условием (равенство максиминного и мимимаксного критериев).

33

Пример платежной матрицы игры с седловой точкой:

Рассмотрим платежную матрицу. Стратегии игрока А определяются строками, игрока В – столбцами.. Максимальный из минимальных выигрышей для игрока А образует значение «7» во второй строке. Действительно, какую бы стратегию не выбрал игрок В, если игрок

Авыбрал вторую стратегию, то его выигрыш не будет менее 7. При любой иной стратегии все зависит от действий игрока В и выигрыш игрока А может быть ниже. Например, игрок

Арешил «рискнуть» и выбрал четвертую стратегию. В предположении, что игрок В будет придерживаться первой стратегии, игрок А может получить максимальный выигрыш «15». Но игрок В сразу перейдет к третьей стратегии, и в этом случае выигрыш игрока А составит всего лишь «3».

Теперь рассмотрим поведение игрока В. Максимальный из минимальных проигрышей для него составит значение «7» в четвертом столбце. Если он будет придерживаться четвертой стратегии, то больше «7» он не проиграет. Если он рискнет, например, выберет третью стратегию, где его проигрыш может составить всего «2», то игрок А может выбрать вторую или четвертую стратегии, и проигрыш игрока В увеличится.

Таким образом, исходя из пессимистической оценки, обоим игрокам лучше не рисковать, тогда они обречены на выигрыш/проигрыш «7».

Тот же принцип гарантированного результата может использоваться и в игре без седловой точки.

В этом случае поведение игроков описывается графом переходов на платежной матрице. Подобный граф представляет собою следующее. После смены стратегии каким-либо игроком, с определенной вероятностью другой игрок не меняет стратеги, либо изменяет ее на какую-либо иную. Цена игры определяется как среднее значение выигрыша/потерь, задаваемых полученным графом.

L

Pl ai, j l

l

Pl -вероятность попадания в вершину ai, j l -цена игры в l-ой вершине графа.

Принцип гарантированного результата присутствует и в данном случае. Возможна ситуация, когда будет выявлен замкнутый граф переходов в платежной матрице, определяющий такое взаимное поведение игроков (последовательность смены стратегий), от которой, с точки зрения пессимистической оценки (гарантированного, здесь уже среднего, выигрыша/проигрыша) игрокам не следует отказываться. В этом случае также получаем установившийся режим, но уже не выбора, а смены стратегий игроками.

Таким образом, данный математический аппарат позволяет обосновать и выбрать действия противников, стратегии их поведения, предусмотреть возможный выигрыш/проигрыш игроков для достаточно широкого приложения задач, сводящихся к теории игр.

ПОДВЕДЕМ ИТОГИ

1.В данном курсе нами рассмотрены наиболее часто применяемые на практике в области вычислительной техники методы оптимизации, используемые при проектировании детерминированных систем: методы синтеза оптимального плана, расписания, маршрута. Вместе с тем, нами не рассмотрен важнейший

34

раздел теории исследования расписаний, связанный с оптимизацией вероятностных систем (стохастические методы). Этот раздел будет вами рассмотрен в курсе лекций, посвященном теории массового обслуживания профессора Т.И. Алиева.

2.Весьма кратко мы коснулись игровых систем, которым посвящен целый раздел исследования операций – теория игр, а также способов учета эвристических знаний при решении оптимизационных задач. Эвристика находит широкое использование в экспертных системах, с вопросами построения и использования которых вы познакомитесь в курсе лекций доцента И.А. Бессмертного.

3.Что очень важно, и на что хочется обратить ваше внимание:

Основной целью лекционного курса является не ознакомление вас с неким ограниченным набором методов оптимизации, что, отчасти, бессмысленно за весьма ограниченное время, ввиду их большого разнообразия; не привитие вам неких навыков применения данных методов. Основа курса – это рассмотрение подходов к проектированию, к обоснованию эффективности полученных решений на предметной области «методы оптимизации». В конечном счете, не так важно, что вы будете проектировать, какую-либо сложную техническую систему или метод оптимизации. И в том, и в другом случае, вам необходимо четко сформулировать цель решаемой задачи, четко обосновать (неким образом интерпретировать) предлагаемый подход к решению, суметь обосновать эффективность полученного решения. Мы пытались научиться проектировать методы оптимизации для различных практических приложений, обосновывать их эффективность для различных способов использования;

Основной целью практических занятий являлось рассмотрение задач и подходов к проектированию уже сложных технических детерминированных систем (систем реального времени). Мы пытались научиться проектировать технические системы подобного класса для различных практических приложений, в том числе, применять рассмотренные нами в лекционной

части курса методы оптимизации.

4.Как изучать материал и как готовиться к сдаче зачета. Для этого необходимо понять цель данного курса – это рассмотрение подходов к проектированию, к обоснованию эффективности полученных решений. Большинство контрольных вопросов будут посвящены именно этому. Вам не требуется ничего зазубривать – при ответе на вопросы вам будет предоставлена возможность пользоваться всеми материалами. Вам требуется лишь хорошо разобраться в изложенном материале.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ЛЕКЦИОННОЙ ЧАСТИ КУРСА

1.Чем отличаются детерминированная, вероятностная и игровая системы.

2.В чем суть системного подхода при проектировании сложных технических систем. Проиллюстрировать на примере

3.Определить место методов оптимизации и решаемые ими задачи при проектировании сложных технических систем.

4.Задачи, решаемые методами математического программирования. Особенность постановки задачи линейного программирования.

5.Что определяет геометрическая интерпретация задачи линейного программирования. Условия возможности решения задачи, наличия бесконечного множества решений.

35

6.Почему задача линейного программирования решается в два этапа? Что такое симплекс метод и симплекс алгоритм.

7.Как выглядит критерий оптимальности для вспомогательной задачи линейного программирования. Почему именно так?

8.Основная задача линейного программирования. Условия оптимальности найденного решения (его единственности) и выбора очередной краевой точки (условие перехода к следующему решению).

9.Достоинства и недостатки симплекс-метода. Обосновать недостатки данного метода для решения задач на ПЭВМ.

10.Общий подход к построению методов оптимизации, ориентированных на применение ПЭВМ.

11.Векторная интерпретация задачи линейного программирования. Способы точного решения задачи.

12.Зачем нужен переход в ортонормированный базис. Зачем и как нормируются параметры.

13.Достоинства и недостатки векторного метода по сравнению симплекс методом.

14.Общие понятия теории расписаний. Задача синтеза расписаний для систем реального времени. С какой целью и при каких условиях строятся приоритетные расписания?

15.Векторная интерпретация задачи, подход к решению, критерий оптимальности.

16.Задача выбора оптимальных маршрутов, почему здесь невозможна векторная интерпретация?

17.Задача выбора оптимальных маршрутов, подход к решению.

18.Понятие многокритериальной задачи оптимизации. Альтернативные подходы к решению.

19.Понятие многокритериальной задачи оптимизации. Векторная интерпретация аддитивного критерия оптимальности.

20.Понятие многокритериальной задачи оптимизации. Альтернативные способы нормирования разнородных параметров.

21.Понятие многокритериальной задачи оптимизации. Интерпретация и способы учета относительной важности разнородных параметров.

22.Понятие игровой системы. Антогонистические игры. Задача распределения ресурсов вычислительной системы, как задача теории игр.

23.Максиминный и минимаксный критерии оптимальности.

24.Понятие чистой и смешанной стратегии. Метод решения задачи.

Общие понятия.

Место методов оптимизации в теории исследования операций.

Методы опримизации представляют раздел теории исследования операции, задачей которого является поиск в рамках принятой математической модели решений, отвечающих экстремальным значениям, критерия эффективности. Операцией называется совокупность взаимосвязанных действий, направленных на выполнение определенной цели. Пока не определена цель нет смысла говорить об операции. Если же цель определена и существуют разные пути ее достижения, то задача состоит в выборе лучшего из них. Понятие лучший требует конкретного уточнения. Оно начинает что-либо означать, когда назван показатель или критерий качества выбираемых решений.

36

Любую операцию можно охарактеризовать следующими составляющими:

Стратегией оперирующей стороны называют допустимые или возможные способы достижения цели. Действующими факторами операции называются ликтивные условия и обстоятельсва, определяющие ее особенности и непосредственно влияющие на ее исход. Критерием эффективности или показателем качества операции или стратегии называется показатель достигнущего соответствия между полученным результатом и целью операции. Состоянием операций в некоторый момент времени называется совокупность ее характеристик., проявляющиеся в этот момент и отражающих объективно сложившееся положоние дел. Математическая модель операции называет формальные соотношения, установившие связь принятого критерия эффективности с дейсвительными факторами вероятности. Решением или ограниченным множеством решений связанными с выбранной математической моделью называется конкретный набор значений и параметров, полученных в результате использования этой математической модели. В общем случае в задаче исследователя в рамках применения теории исследовании операции входят решения следующей совокупности задач:

1)Формулировка цели операции, результатом которой будет обоснованный выбор критерия эффективности.

2)Обоснованный выбор исходного множества стратегий достижения цели.

4)Построение математической модели параметров операции с целью полного определения требуемых параметров всех стратегий с учетом действующих факторов операции.

5)Построение математической модели операции с целью установления зависимости изменения критерия эффективности от изменения параметров операции с учетом изменения цели.

Под параметром стратегии понимается локальное качество операции, обусловленное ее действиями или факторами, учитываемые критерием эффективности стратегий. Под моделированием параметров или моделированием системы понимается определение зависимости изменения локальных качеств с учетом действующих факторов операций. Говоря о системе, дадим определение и классификацию возможных систем.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------

Системой называется диорядоченная совокупность материальных объектов (элементов), объединенных некоторыми связями (информационными, механическими), предназначенных для достижении какой-либо цели, и достигающей ее, по возможности наилучшем образом. С учетом того, что поведение системы, есть последовательный ряд операций, системы можно классифицировать на: детерминированные, вероятностные, игровые. Детерминированной считается система, в которой составные части взаимодействуют друг с другом точно предвиденным образом. Ее поведение предсказуемо, если известны текущие состояния элементов и законы преобразования информации циркулирующие между ними. Вероятностной называют систему возможное поведение которой и его последствия описываются на языке теории вероятности. Здесь знания текущего состояния и особенностей взаимной связи элементов не достаточно для предсказания будущего со всей определенностью, поэтому приходится оценивать вероятности ожидаемых событий. Игровой называется система, осуществляющая разумный выбор своего поведения в будущем. В основе выбора лежат неформальные условия, руководствоваться которыми может лишь человек.

38

Не смотря на большое разнообразие задач математического программирования все

переменных могут обрадать различными свойствами. В случае если они линейны, формулируется задача линейного программирования, в противном случае не линейного. Данное условие задает область определения или область допустимых решений задач. Целевая функция Z должна достигать оптимального значения на допустимой области U.

Краткая запись постановки задачи математического программирования имеет вид:

целочисленности переменных и др.

Линейное програмирование. Общие свойства задачи.

Задача линейного програмирования состоит в нахождении переменных

системе равенств путем присоединения дополнительных переменных. В задаче нелинейного программирования присутствуют различные нелинейности в частности нелинейность целевой функции или ограничения.

Постановка задачи: пусть имеется некоторый материал в виде стандартных листов, которые требуется раскроить так, чтобы получилось не менее 80 шт. первого типа и 40 шт. второго типа. Ивестны 4 способа раскроя листа. Результаты каждого способа указаны в таблице. Требуется так спланировать операцию раскроя, чтобы общий раскрой материала был минимальным.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------

сформулированна следующим образом. Найти переменные x, для которых целевая функция обращена в минимум при условиях (последняя строчка в предыдущей системе).

Задача: ферма производит откорм скота. Допустим, что имеется четыре вида продуктов ( П1 , П2 , П3 , П4 ). При стоимости каждого продукта ( С1 , С2 , С3 , С4 ). Из этих

продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков b1 , жиров b2 , улеводов b3 . Для продуктов «n» содержание белков, углеводов и жиров в единицах на единицу продукта заданно в таблице.

Требуется составить такой пищевой рацион или назначить количество продуктов, входящих в него, чтобы условия по белкам, жирам и углеводам были выполнены, а стоимость рациона была минимальной. Z min. Обозначив через xj количество

продуктов входящих в рацион j 1,4 .

Геометрическая интерпритация задачи. Обоснование общих подходов к решению.

Рассмотрим задачу в стандартной форме (целевая функция стремится к максимому, все условия заданы равенствами). Всегда ли эта задача имеет решение? Могут уравнения быть несовместимыми. Могут быть совместимы, но не в области допустимых решений. Допустимые решения могут существовать, их может быть множество, но среди них не будет оптимального.

Для геометрической интерпритации (для простоты на плоскости) зададим, что число уравнений на два меньше, чем число переменных n. Т.е. n – m = k = 2. В данных предположениях m уравнений можно разрешить отношением n базисных переменных выразив их через остальные, называемые свободными, число которых k = n – m. Предположим, что x1 и x2 это свободные переменные, а x3 и x4 базисные переменные, тогда из исходной системы m базисных уравнений.

40

части. Все, что выше прямой, x3 > 0, все точки ниже прямой, x3 < 0. Соответственно построим уравнения и для других переменных (все приравнивается нулю) и отложим их в той же системе координат. Аналогично, через свободные переменные x1, x2 может быть выражена и целевая функция: z c1x1 c2 x2 , т.е. целевая функция может быть так же

отображена прямой в системе координат. Данная прямая называется опорной прямой. Если изменять значения коэффициентов сj , то данная прямая будет перемещаться параллельно самой себе в рассматриваемой системе координат. Очевидно, что оптимальное решение достигается в краевой точки, где по крайне мере две базисные переменные (в общем случае к) равны 0. Может ли оказаться так, что либо решение вообще, либо оптимальное решение может отсутствовать.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------

Это возможно в двух случаях: 1) когда область допустимых решений пуста; 2) когда область допустимых решений неограничена сверху.

Во втором случае всегда можно найти решение, которое превосходит любое выбранное, т.к. опорную прямую можно передвигать бесконечно вверх. Кроме того возможна ситуация, когда задача может иметь бесконечное множество решений. Это имеет место в том случае,

когда опорная прямая параллельна прямой, ограничивающая облать допустимых решений (см. рис.)

В этом случае любая точка на данной прямой является оптимальным решением. Итак представленная геометрическая интерпритация задачи позволяет сделать четыре вывода относительно способа решения:

1.Оптимальное решение (если оно существует) всегда достигает вершин в области допустимых решений в точке, где по крайней мере к переменных обращаются в 0.

2.Поиск оптимального решения может осуществлятся путем перебора краевых вершин области допустимых решений.

3.Переход от одной краевой вершины области допустимых решений к другой осуществляется обнулением одной из переменных, имеющих положительное решение и, соответственно, предоставление положительного приращения одной из переменных, ранее имевших нулевое значение.