Целочисленное программирование. Идея метода Гомери.

Задачи сформулированные в терминах линейного программирования и содержащие требование «все или некоторыеx_j целые числа» называются задачами целочисленного программирования. Геометрическое представление особенности постаковки задачи в этом случае состоит в том, что область определяется целочисленными задачами, отождествляемые с множеством дискретных точек или узлов целочисленной решетки (если все целочисленные ) или с множеством пересекающихся линий плоскостей (если целочисленны переменные ) (см рис.). В этом смысле также может быть использован симплекс метод, однако сложность применения данного подхода здесь еще увеличивается. Метод решения целочисленных задач на основе симплекс метода носит имя Гомери. Метод Гомери состоит из последовательного выполнения шагов. На первом шаге ограничения на целочисленные переменные не используются и задача решается классическим симплекс методом. Если полученное решение не соответствует исходному условию, то метод Гомери предполагает проведение видоизменения исходной допустимой области таким образом, чтобы из нее исключить полученные нецелочисленные решения, но в месте с тем гарантированно оставались в качестве возможных решений все претендующих на это целочисленное значение. Данное ограничение представляет собою прямую, отсекающую линии проходящие через ближайшие целочисленные решения. Формально данное условие записывается отдельно дополнительным неравенством в систему (исходную) (чем модифицирующихся областьU) после чего задача решается вновь. Таким образом при использовании симплекс метода при введении ограничения на целочисленность задача многократно усложняется, т.к. требует многократного использования симплекс метода с допустимой области в рамках решения одной исходной задачи.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Векторная интерпритация задачи линейного программирования.

При синтезе любого метода оптимизации необходимо дать ответы на следующие вопросы:

1. Каков физический смысл или интерпритация задачи оптимизации.

2. Каков физический смысл или интерпритация критерия оптимальности.

3. Каков физический смысл критерия выбора направления продвижения к оптимальному решению на каждом шаге.

4. Какой критерий выбора величины продвижения к оптимальному решению на каждом шаге решения задачи.

5. Каков физический смысл задания условия окончания решения или условие оптимальности полученного решения для:

1. При точном решении задачи.

2. При приблизительном решении задачи.

Рассмотрим альтернативную векторную интерпритацию постановки и решения задачи линейного программирования.

Рассмотрим исходную постановку задачи линейного программирования. Для простоты будем считать, что целевая функция будет иметь вид:.

Для возможности интерпритирования задачи положим m = 2, теперь задачу можно интерпритировать на плоскость. Отложим на плоскости ограничения. Пересечение соответствующих прямыхx = b₁ и y = b_m задают область допустимых решенийU. Т.к. необходимо построить оптимальный план, т.е. достигнуть допустимой области решенийUс минимальными затратами, отложим направление достижение допустимой области. Это вектор ОО₁ (идеальный вектор), задающий идеальное направление продвижения из вершины координат в сторону допустимой области решений. Теперь представим каждый локальный вариант решения соответствующе заданным вектором его качества в данной системе координат. Для этого отложим по соответствующим осям коэффициенты при переменных х. Отложение в системе координат вектора например в точку а₂₁ соответствует присвоению переменной х₁ значение. Очевидно, что лучший из векторов локальных вариантов должен иметь максимальную длину и наименьший угол с идеальным вектором (вектором, задающим направление идеального решения). Таким образом критерием выбора локального лучшего решения будет максимальная длина его вектора и минимальный угол с идеальным вектором . Для упрощения вычислений можно два этих критерия свести к одному, взяв длину проекции векторакачества локального решения, на идеальный вектор можно свести задачу к однокритериальной. При этом лучший вектор следует выбирать из условий максимизации длины проекции. Определим в нашей системе координат лучший вариант, отложив проекцию на идеальный вектор. Пусть это векторQ₂ . Если на данном шаге мы выберем векторQ₂, это будет означать, что значение переменной х₂ мы увеличим на 1. В свою очередь это означает наше продвижение в сторону ограничений по оси х на а₁₂ по оси у на а₂₂ . Или соответственно это означает уменьшение исходных ограничений (т.к. часть работы выполнена b₁ на величину а₁₂ и b₂ на величину а₂₂ ). Соответственно переход к следующему шагу решения задачи можно интерпритировать движением системы координат в направлении и на длину вектораQ₂ . Далее определим новое идеальное направление для последующего решения задач. Который учитывает любые пролученные результаты на последующих шагах.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

В новой системе координат строим новый идеальный вектор Q₀ и откладывает вектора исходных решений (они не изменяются, т.к. исходно заданы системой ограничений). Данная пошаговая процедура выполняется до тех пор, пока последний отложенный вектор качества не пересечет область допустимых решений. Решением задачи будет совокупность частных планов (решений) соответствующего вектора, который отложен в процессе решения задачи.

Достоинства и недостатки метода решения, который может быть рассмотрен на основе рассмотренной интерпритации:

Достоинства:

1. Критерий оптимальности, оптимизирует число вычислений, т.к. на каждом шаге выбирается оптимальное решение.

2. В первую очередь данный подход ориентирован на решение целочисленных задач линейного программирования.

Недостатки:преподавателем было предложено сформулировать недостатки данного метода самим студентам.

Подстказка:в виду того, что одновременно несколько векторов могут иметь равную длину проекции, то для корректного решения задачи необходимо рассмотреть все ветви решений, образуемых векторами, имеющие равные проекции. К чему может привести рассмотрение только одной ветви при целочисленном и точном решении.