Симплекс алгоритм.

Симплекс алгоритм основан на следующих теоретических предпосылках:

1. Формальное задание условия проверки на оптимальность полученного решения.

2. Формальное задание условия (критерия оптимальности) для обоснования перехода из одной краевой вершины в другую.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Задание формального условия оптимальности полученного решения.

Пусть задача линейного программирования дана в следующих установках. Найтиобращающие в минимум целевую функциюпри следующих ограничивающих условиях.

Эта каноническая форма. Счита ее допустимой, рассмотрим очевидное базисное решение . Для ответа на вопрос является ли это решение оптимальным проведем не сложные преобразования. Умножим каждую строку системы неравенств на коэффициентC_j, индекс которого совпадает с номером соответствующей строки i = j и просуммировав полученное раветство здесьz₀ – некая константа, по своему физическому смыслу. Это значение целевой функции z, допустимое в точке с координатой , коэффициентыкоэффициенты при свободных переменных. Рассмотрим базисные решения, вошедшие в выражениеz. Утверждение: допустимое базисное решение является оптимальным если коэффициенты при свободных переменныхx_j в выражении (*) не отрицательное.

Доказательство: в рассматриваемой задаче необходимо минимизировать целевую функцию z, при этом . Если коэффициенты, то разностьz – z₀ не отрицительна и ее минимум есть 0.  z не будет менее z₀ , т.е. невозможно уменьшить целевую функцию за счет приращений свободным переменным. Из данного утверждения следует

1. любое решение поставленной задачи, которому соответствуют и все соответствующие коэффициенты, при неотрицательности переменныхx_j будет оптимальным.

2. Допустимое оптимальное базисное решение окажется оптимальным если все коэффициенты .

В этом случае свести к нулю разность z – z₀ можно только при . Сформулированное является признаком оптимальности задачи линейного программирования. Однако на практике по существу никогда не удается найти оптимального решения сразу. Поэтому возникает задача перебора краевых вершин.

Формальное задание критерия оптимальности и обоснование перехода из одной краевой вершины в другую.

Пусть на очередном этапе решения получено базисное решение: оказалось не оптимальным, т.е. среди коэффициентовприесть отрицательные значения. Чтобы перейти к другому допустимому решению, нужно сделать строго положилельной (ввести в базис) какую-то из первых, соответственно обратим в 0 одну из переменных. Очевидно, что целевая функция при таком преобразовании улучшится в том случае, если положительное приращение давать переменной при которой коэффициент. Обозначимs тот номер j из номеров m+1,…,n, для которой и имеет минимальное значение.. Решив дать положительное приращение переменнойx_s = 0, представим базисную переменную и целевую функцию в следующем виде из исходной системы ограничений: Видим, что с целью минимизации целевой функции z, целесообразно уменьшать c_s . Однако возрастание x_s можно осуществлять до тех пор пока какая-либо из переменных не обратиться в 0. Первой в 0 обратиться та переменная, для которой отношениеминимально. Таким образом условием увеличении переменнойx_s будет минимум этого отношения.

Замечание: Если хотя бы одно значение x_i = 0, при соответствующем значении a_i,s  0, то переменную x_s невозможно ввести в базис с соблюдением требовании  0 переменных (случай вырожденного базисного решения). Таким образом нами определены формализованные критерии и признаки:

1. Оптимальности решения

2. Единственность оптимальности решения

3. Правила перехода в новой краевой точке в части:

1. Выбора направления перехода (переменной, которой следует дать положительное приращение)

2. Задания величины приращения переменной

3. Определения переменной, которую следует обнулить

Сформулированные формальные требования и условия используются на каждом шаге, если ни на одном из них не появляется вырожденного базисного решения.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------