Геометрическая интерпритация задачи. Обоснование общих подходов к решению.

Рассмотрим задачу в стандартной форме (целевая функция стремится к максимому, все условия заданы равенствами). Всегда ли эта задача имеет решение? Могут уравнения быть несовместимыми. Могут быть совместимы, но не в области допустимых решений. Допустимые решения могут существовать, их может быть множество, но среди них не будет оптимального.

Для геометрической интерпритации (для простоты на плоскости) зададим, что число уравнений на два меньше, чем число переменных n. Т.е. n – m = k = 2. В данных предположениях m уравнений можно разрешить отношением n базисных переменных выразив их через остальные, называемые свободными, число которых k = n – m. Предположим, что x₁ и x₂ это свободные переменные, а x₃ и x₄ базисные переменные, тогда из исходной системы m базисных уравнений.

Предположим x₃ = 0, то полученное уравнение константы можно опустить.

При геометрической интерпритации любое значение некоторой переменной можно отобразить точкой в системе x₁ 0 x₂.

Это уравнение в рассмотренной системе координат задает прямую, любая точка рассположенная на которой, соответствует значению x₃ = 0.

Соответственно это прямая делит пространство на две части. Все, что выше прямой, x₃ > 0, все точки ниже прямой, x₃ < 0. Соответственно построим уравнения и для других переменных (все приравнивается нулю) и отложим их в той же системе координат. Аналогично, через свободные переменные x₁, x₂ может быть выражена и целевая функция: , т.е. целевая функция может быть так же отображена прямой в системе координат. Данная прямая называется опорной прямой. Если изменять значения коэффициентов с_j , то данная прямая будет перемещаться параллельно самой себе в рассматриваемой системе координат. Очевидно, что оптимальное решение достигается в краевой точки, где по крайне мере две базисные переменные (в общем случае к) равны 0. Может ли оказаться так, что либо решение вообще, либо оптимальное решение может отсутствовать.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Это возможно в двух случаях: 1) когда область допустимых решений пуста; 2) когда область допустимых решений неограничена сверху.

Во втором случае всегда можно найти решение, которое превосходит любое выбранное, т.к. опорную прямую можно передвигать бесконечно вверх. Кроме того возможна ситуация, когда задача может иметь бесконечное множество решений. Это имеет место в том случае, когда опорная прямая параллельна прямой, ограничивающая облать допустимых решений (см. рис.)

В этом случае любая точка на данной прямой является оптимальным решением. Итак представленная геометрическая интерпритация задачи позволяет сделать четыре вывода относительно способа решения:

1. Оптимальное решение (если оно существует) всегда достигает вершин в области допустимых решений в точке, где по крайней мере к переменных обращаются в 0.

2. Поиск оптимального решения может осуществлятся путем перебора краевых вершин области допустимых решений.

3. Переход от одной краевой вершины области допустимых решений к другой осуществляется обнулением одной из переменных, имеющих положительное решение и, соответственно, предоставление положительного приращения одной из переменных, ранее имевших нулевое значение.

4. Для того, чтобы осуществить последовательный перебор всех вершин необходимо на каждом шаге анализа только одну переменную обнулять, соответственно только одной переменной давать положительное приращение.

Все эти основополагающие принципы каждой интерпритации задачи находят свое отражение в симплекс алгоритме.