3. Последовательность выполнения задания

Определение класса точности отливок (или проверка соответствия класса точности требуемому) проводится путем анализа выборочной партии отливок объемом не менее 30 штук. (Выборка – некоторое количество объектов исследования, отобранное в последовательности их изготовления).

3.1 Проводится обмер отливок, ограничиваясь двумя – тремя определяющими размерами (чаще всего это габаритные размеры).

3.2.Полученные данные подвергают обработке по правилам математической статистики.

3.3. Строится гистограмма распределения действительных размеров.

3.4. Проверяется соответствие закона распределения размеров нормальному распределению (по критерию Пирсона или другим способом),

3.5 Вычисляются характеристики выборки: среднее арифметическое значение размера , и среднее квадратическое отклонение размеров .

Учитывая, что при нормальном распределении предельные отклонения не превышают ±3σ (с доверительной вероятностью P = 0.9973), поле допуска δ на каждый размер принимается равным .

3.6. Используя полученное поле допуска для соответствующего номинального размера, по ГОСТ 26645-85 определяют класс точности отливки.

4. Пример выполнения расчетного задания

Требуется определить класс точности отливки типа вал, получаемой из чугуна СЧ 30 литьем в песчаную форму.

Для анализа используется партия отливок из 112 штук. Измеряется наружный диаметр D, который по чертежу имеет номинальный размер Dн = 276,0 мм. Измерения выполняют штангенциркулем с точностью до 0.01 мм.

По результатам измерений фактический размер D изменяется в пределах от 275,1 до 277,6 мм.

4.1 Ранжируются результаты замеров. Получается ряд размеров 275,1; 275,1; 275,2………277,2; 277,5; 277,6.

4.2 Вычисляется среднее арифметическое значение мм , округляется

до мм.

4.3 Вычисляется среднее квадратическое отклонение мм.

4.4 Проводится отбраковка измерений с большой погрешностью (проверка принадлежности данной выборке, состоящей из 112 измерений, наиболее отличающихся значений). Такими значениями могут быть крайние значения ранжированной выборки, т.е. мм и мм.

Оценка проводится по критерию Стьюдента. Расчетное значение критерия для равно:

Табличное значение критерия t_т (приложение таблица П1) для числа измерений n=112 и доверительной вероятности 0.95 составляет 1,9840. Следовательно, t_р > t_т мм следует считать грубой ошибкой, которую необходимо отбросить.

Аналогичным образом проверяется и отбрасывается значение мм, для которого

Число измерений с мм равно двум.

Следующими крайними значениями являются мм(одно измерение) и мм(одно измерение). Расчетные значения критерия для них равны соответственно 1.84 и 2.39. При табличном значении t_т=1.98 измерение остается в выборке, а - отбрасывается.

Следующее значение мм ( ) оставляется в выборке. На этом отбраковка выпадающих значений заканчивается. В результате скорректированная выборка имеет 108 измерений, лежащих в пределах 275,2 - 277,2 мм.

4.5 Вычисляется среднее арифметическое значение скорректированной выборки мм, округляем до мм.

4.6 Вычисляется среднее квадратическое отклонение мм.

4.7 Проверяется соответствие данной выборки нормальному закону распределения (закону Гаусса). Для этого воспользуемся критерием Пирсона χ² (χ квадрат). Расчеты оформляются в виде таблицы 2. Все результаты измерений разбиваются на j интервалов. (число интервалов связано с числом измерений).

4.8 Вычисляется ширина интервала измерений:

мм

4.9 Результаты измерений представляются в виде интервального ряда с указанием границ каждого интервала. При бесконечно большом числе измерений крайние значения выборки D_min и D_max могут отличаться от указанных значений. Поэтому крайние интервалы оставляют открытыми, соответственно, от - до 275,3 мм и от 277,1 мм до + .

4.10 Учитывая число измерений m_i в каждом интервале и общее число 108 измерений, рассчитывается относительная частота попадания измерения, в соответствующий интервал:

4.11 Для каждого интервала рассчитывается нормирующий множитель:

;

D_i – значение правой границы интервала.

4.12 Для каждого интервала по таблице (приложение, табл. П2) определяется интеграл вероятности Ф(t):

.

Для последнего интервала и .

4.13 Вероятность попадания в соответствующий интервал P_i рассчитывается по формуле:

.

При правильном расчете .

4.14 Рассчитывается значение для каждого интервала. Результаты расчета записываются в табл. 2. Сумма чисел последнего столбца дает расчетное значение критерия Пирсона:

.

Критерий согласия Пирсона используется для проверки гипотезы о законе распределения случайных чисел. Критерий Пирсона обладает свойством: не зависит от функции распределения и числа опытов, зависит от «числа степеней свободы» f, которое устанавливается как число интервалов минус число независимых условий (3).

Сравниваем =2,889 с табличным (приложение, табл. П3). Устанавливаем, что для степени свободы f = (j - 3) = 8 – 3 = 5, при всех уровнях доверительной вероятности P от 0.9 до 0.999 выполняется неравенство , где

Следовательно, распределение размера D по принятым интервалам соответствует нормальному закону. Это является необходимым основанием для дальнейшей корректной обработки выборки методами математической статистики.

4.15.Вычисляются предельные отклонения анализируемого размера – поле допуска . Примем равным полю рассеяния, величина которого для нормального закона распределения при доверительной вероятности P = 0,997 равна .

мм.

4.16. Определяется класс точности отливок по ГОСТ 26645-85. Для отливок с номинальным размером 250-400 мм допуск 3,06 мм соответствует девятому классу точности (таблица П4). Допуск на указанный интервал размеров отливок составляет не более 3.2 мм (для соседнего 9-ого класса точности допуск не более 2,4 мм).

Допустимые предельные значения размеров отливки для вычисленного поля допуска составляют:

мм

мм.

4.17 Отклонение среднего арифметического (преобладающего) размера отливки =276,2 мм от номинального по чертежу D_н= 276,0 составляет δ_с= 0,25 мм.

4.18 Используя данные расчетной таблицы 2, строится гистограмма и кривая распределения.

Гистограмма распределения – это ступенчатый график, состоящий из прямоугольников, ширина которых равна значению интервала, а высота – частотам значений случайной величины в своих интервалах(относительная частота попадания измерения в соответствующий интервал). Изобразив в том же масштабе частоты прямые линии вероятности попадания в соответствующий интервал Р_i, исходящие из середины каждого интервала, и соединив их верхние точки ломаной линией, получают практическую кривую (полигон) распределения.

Для построения гистограммы по оси абсцисс, откладываем в удобном масштабе 8 равных интервалов. По оси ординат откладываем соответствующие значения частот . Проведя соответствующие горизонтальные отрезки, строим гистограмму.

Для построения кривой распределения определим середину соответствующих интервалов и на прямых линиях, исходящих из центра интервала, в принятом масштабе, откладываем значения Pi. Верхние точки соединим плавной кривой.

Проверка соответствия выборки закону нормального распределения

Таблица 2.

Интервал				t	Ф(t)
- 275.3	275.3	2	0.019	-1.8	-0.464	0.036	0.917
275.3 – 275.6	275.6	10	0.093	-1.2	-0.385	0.079	0.253
275.6 – 275.9	275.9	20	0.185	-0.6	-0.226	0.159	0.466
275.9 – 276.2	275.2	22	0.204	0	0	0.226	0.238
276.2 – 276.5	276.5	21	0.194	0.6	0.226	0.226	0.476
276.5 – 276.8	276.8	19	0.176	1.2	0.385	0.159	0.195
276.8 – 277.1	277.1	9	0.083	1.8	0.464	0.079	0.026
277.1 – +	+	5	0.046	+	0.500	0.036	0.318

Рис. 5. Гистограмма и кривая распределения значений диаметра в партии из 108 отливок.

Отклонение среднего арифметического (преобладающего) размера отливки мм от номинального по чертежу Dн = 276,0 мм составляет мм и представляет собой систематическую погрешность. Эта погрешность постоянна по величине и знаку или изменяющаяся по определенному закону в зависимости от неслучайных факторов. Причинами систематической погрешности являются: отличие реальной усадки от запроектированной, большая шероховатость поверхности отливки, неточность изготовления модели, раздутие формы и др. Систематическую погрешность можно уменьшить корректировкой размера модели. В данном случае ( _H ) можно предположить, что по мере износа модели в процессе эксплуатации систематическая погрешность исчезнет и среднее арифметическое значении совпадет с номинальным _H. Тогда поле допуска будет включать лишь случайные погрешности, обусловленные нестабильностью технологического процесса и неточностью измерений отливки. Именно эти погрешности оценивает величина .

Значения критерия Стьюдента Таблица П1

n	P
	0.8	0.9	0.95	0.99	0.999
3	1.6377	2,3534	3,1824	5,8409	12,9240
4	1.5332	2,1318	2,7764	4,6041	8,6103
5	1.4759	2,0150	2,5706	4,0321	6,8688
6	1.4398	1,9432	2,4469	3,7074	5,9588
7	1.4149	1,8946	2,3646	3,4995	5,4079
8	1.3968	1,8595	2,3060	3,3554	5,0413
9	1.3830	1,8331	2,2622	3,2498	4,7809
10	1.3722	1,8125	2,2281	3,1693	4,5869
12	1.3562	1,7823	2,1788	3,0545	4,3178
14	1.3450	1,7613	2,1448	2,9768	4,1405
16	1.3368	1,7459	2,1199	2,9208	4,0150
18	1.3304	1,7341	2,1009	2,8784	3,9216
20	1.3253	1,7247	2,0860	2,8453	3,8495
22	1.3212	1,7171	2,0739	2,8188	3,7921
24	1.3178	1,7109	2,0639	2,7969	3,7454
26	1.3150	1,7056	2,0555	2,7787	3,7066
28	1.3125	1,7011	2,0484	2,7633	3,6739
30	1.3104	1,6973	2,0423	2,7500	3,6460
32	1.3086	1,6939	2,0369	2,7358	3,6218
34	1.3070	1,6909	2,0322	2,7284	3,6007
36	1.3055	1,6883	2,0281	2,7195	3,5821
38	1.3042	1,6860	2,0244	2,7116	3,5657
40	1.3031	1,6839	2,0211	2,7045	3,5510
42	1.3020	1,6820	2,0181	2,6981	3,5377
44	1.3011	1,6802	2,0154	2,9623	3,5258
46	1.3002	1,6787	2,0129	2,6870	3,5150
48	1.2994	1,6772	2,0106	2,6822	3,5051
50	1.2987	1,6759	2,0086	2,6778	3,4960
55	1.2971	1,6730	0,0040	2,6682	3,4764
60	1.2958	1,6706	2,0003	2,6603	3,4602
65	1.2947	1,6686	1,9971	2,6579	3,4466
70	1.2930	1,6655	1,9923	2,6433	3,4252
100	1.2901	1,6602	1,9840	2,6259	3,3905
150	1.2872	1,6551	1,9759	2,6090	3,3566