19.Метод комплексных амплитуд

Метод комплексных амплитуд введен в практику расчета цепей переменного тока Рудольфом Штейнмецем в начале 20-го века.Пусть на линейную цепь воздействует источник гармонических колебаний опре­деленной частоты. Допустим, что до начала наблюдений прошло время, достаточ­ное для завершения изменений, связанных с включением источника и другими возможными переключениями в цепи, а также закончилось рассеяние энергии, запасенной в отдельных элементах цепи (в емкостях и индуктивностях). В ре­зультате приходим к установившемуся режиму. В этом режиме все токи и напря­жения на всех элементах линейной цепи изменяются по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия. Если при решении задачи анализа ограничить­ся рассмотрением только установившегося режима, вычисления можно заметно упростить, сопоставив определенным образом каждому гармоническому колеба­нию комплексное число, называемое комплексной амплитудой. Переход от реаль­ных гармонических токов и напряжений к комплексным амплитудам составляет суть метода комплексных амплитуд. Этот метод иногда называют комплексным, а также (более расплывчато) — символическим, подразумевая, что в его основе – переход от реальных объектов к сопоставленным им символам. При решении задач анализа в цепях с гармониче­скими токами и напряжениями обычно нет нужды заниматься поиском часто­ты – при традиционной постановке она заведомо известна. Усилия направляют на поиск амплитудных значений токов и напряжений, а также разности фаз меж­ду ними. Время и частота на промежуточных этапах процедуры решения отходят на задний план. Понятно, что в окончательном результате временные зависимо­сти (косинусоидальные и синусоидальные функции времени) обязаны появить­ся, но до определенной поры можно при вычислениях отказаться от использова­ния синусов и косинусов. Компактно описать один объект сразу двумя величинами позволяют комплексные числа, включающие в себя пару вещественных чисел.

Метод комплексных амплитуд основан на преобразовании гармонических функций из временной области (то есть области вещественного переменного t) в частотную область (область мнимого аргумента ). Таким образом, любой гармонической функции время на однозначно соответствует комплексное число , называемое комплексной мгновенной величиной:

показательная форма записи комплексного числа.

тригонометрическая форма

,

алгебраическая форма полярная форма. Где - комплексная амплитуда (значение мгновенного комплекса в момент времени t =0);

20.Характеристики пассивных элементов электрической цепи в гармоническом режиме (конденсатор)

Пусть к конденсатору с емкостью С приложено напряжение, мгновенное значение которого: u_С = U_mcos(wt + α_U). Ток через конденсатор: i_C = CdU/dt = - wCU_msin(wt + α_U) = wCU_mcos(wt + α_U + π/2) = I_mcos(wt + α_U). Видно, что ток емкости опережает по фазе напряжение на 90˚, т.к α_i = α_U + π/2; (начальная фаза тока на π/2 > α_U). Действующее амплитудное значение тока емкости пропорционально амплитудному значению напряжения: I_m = wCU_m.

Отношение амплитуд напряжения и тока называется емкостным сопротивлением x_C =U_m/I_m =1/wc. X_C – бессмысленно для определения мощности т.к. конденсатор мощности не потребляет из-за фазовых сдвигов между током и напряжением, который он сам и создает. Поэтому Z_с выражается мнимым числом. Мгновенная мощность конденсатора при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой в 2 раза больше частоты воздействия: P_C = u_Ci_C = U_mcos(wt + α_U) I_m cos(wt + α_i) = (-U_mI_m/2)sin2(wt + α_U) = -U_CI_Csin2(wt + α_U). Как видно на рис. б) в течение половины периода изменения мощности, i_C и u_C имеют одинаковый знак (С - заряжается), при этом P_C > 0. В течение второй половины периода С отдает запасенную энергию (разряжается), при этом i_C и u_C имеют различные знаки, а P_C < 0;

резистор

Пусть к резистору с сопротивлением R приложено напряжение

u_R = U_mcos(wt + α_u)

В соответствии с законом Ома: i_R = u_R/R = U_mcos(wt + α_u)/R = I_mcos(wt + α_i)

Видно, что мгновенные значения тока и напряжения в резисторе совпадают по фазе α_u = α_i и отношение их амплитуд равно проводимости: I_m = gU_m.

Мгновенная мощность, рассеиваемая на резисторе:

Pr = u_R i_R = U_mI_mcos²(wt + α) = RI_m²cos²(wt + α) = U_mI_m/2 + (U_mI_m/2)cos2(wt + α),

где U_mI_m/2 – постоянная составляющая;

(U_mI_m/2)cos2(wt + α) – переменная составляющая. Максимальное значение P_r = U_mI_m , P_{r min} = 0;. Ток и напряжение одновременно достигают максимальные значения и одновременно проходят через ноль т.к. ток и напряжение имеют одинаковые начальные фазы. Мгновенная мощность Pr – всегда положительна, Pr – обращается в ноль в точке где i и u равны нулю и достигают максимума в момент времени когда i и u максимальны по абсолютному значению. Катушка Индуктивности. Пусть ток индуктивности изменяется по гармоническому закону: i_L = I_mcos(wt + α_i)

Тогда мгновенное значение напряжения на индуктивности:

u_L = Ldi/dt = -wLI_msin(wt + α_i) = wLI_mcos(wt + α_i + π/2) = U_mcos(wt + α_U);

Начальная фаза α_U на π/2 больше α_i : α_U = α_i + π/2;

Действующее значение напряжения на индуктивности пропорционально действующему значению тока: U_L = wLI_L = X_LI_L

Отношение амплитуд напряжения и тока называется индуктивным сопротивлением:

X_L = wL = U_m/I_m

Мгновенная мощность P_L при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой 2w:

P_L = u_Li_L = I_mcos(wt + α_i)U_mcos(wt + α_i + 90˚) = - I_LU_Lsin2(wt + α_i);

P_QL =U_L I_L = w_LI² = X_LI² – реактивная мощность;