6. Определенный интеграл

Определенный интеграл используется для нахождения дисконтированного объема дохода. Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время n при годовом проценте p, называется дисконтированием.

• Пусть K_n – конечная сумма, полученная за n лет;

• p – годовой процент (процентная ставка);

• i=p/100 – удельная процентная ставка (процент, приносимый одной денежной единицей);

• D=K_n-K – дисконт (разность между конечной суммой K_n и дисконтируемой (начальной) суммой K).

Проблема дисконтирования встречается при определении экономической эффективности капитальных вложений.

• Если проценты простые, то K_n=K(1+in), тогда .

• В случае сложных процентов K_n=K(1+i)ⁿ, поэтому .

• Величина r=1+i называется коэффициентом сложного процента.

• Число v=1/r называется коэффициентом дисконта, тогда K=K_nvⁿ.

Задачи.

1. Считая годовой доход f(t) функцией времени, определить дисконтированный объем дохода за T лет при удельной норме процента i (процент начисляется непрерывно).

2. Вычислить дисконтированный доход за 5 лет при условии, что годовой доход f(t)=40 тыс.у.е., а удельный процент i=0,04.

3. Вычислить дисконтированный доход за бесконечный промежуток времени при условии, что годовой доход f(t)=30 тыс.у.е., а удельный процент i=0,02.

4. Определить объем выпуска продукции при производительности f(t)=11,3te^-0,417t за первые 5 часов работы.

5. Найти объем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при восьми часовом рабочем дне, если производительность задана функцией f(t)=-0,0033t²+0,089t+20,96, 1≤ t ≤8. Указание. Сначала найти объем продукции за 8 часов, затем умножить его на 258.

6. При непрерывном производстве химического волокна производительность аппарата y(t) (т/ч) растет с момента запуска в течение 10 часов, а затем остается постоянной. Сколько волокна дает аппарат в первые сутки после запуска? Дано y(t)=e^t/5-1.

7. Определение объема шихты, требуемый на изготовление металлических отливок, производится по формуле v=100(v_от+v_лит)/(100-m), где v_от – объем готовой отливки; v_лит – объем литников; v_лит≈ 0,3v_от; m – процент невозвратных потерь; m=10%. Найти объем шихты, необходимой для отливки шкива, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y(x)=x²+1, x=-1, x=2.

8. Зависимость затрат времени t от степени освоения производства задается формулой t=ax^-b, где a – затраты времени на первое изделие; x – порядковый номер изделия в партии; b – показатель производственного процесса. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от x₁ до x₂. Вычислить t_ср при a=600 мин., b=0,5, x₁=100, x₂=121.

9. Переменные издержки производства определяются функцией y(x)=4x+1, где x – объем производственной продукции. Найти средние издержки при объеме производства, изменяющемся от 3-х до 5-ти ед.

10. Опоры моста высотой 3 м в сечении представляют собой гиперболу yx=2, пересеченную прямыми y=2x+3, y=2x-3. Сколько потребуется машин бетона на 8 таких опор, если в машине 3 м³ бетона.

11. Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения S=6 м² наполнен водой до высоты H=5 м. Определить время T, в течение которого вся вода вытекает из резервуара через небольшое отверстие в его дне, площадью s=0,01 м², если скорость истечения воды равна , где h – высота уровня воды над отверстием; g – ускорение силы тяжести.

12. Скорость изменения расходов на питание y(x) в зависимости от изменения доходов x задана формулой . Найти годовой расход на питание, если известно, что годовой доход составил 1600 руб.

13. Найти среднее значение издержек производства K_ср, если предельная величина издержек равна K(x)=6x+4, а объем продукции изменяется от 0 до 3-х у.е. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

14. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?

15. Силос заложен в яму параболического сечения шириной 10 м, глубиной 2 м, длиной 25 м. Определить, сколько силоса в яме.

16. В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=2 м и высоты H=10 м через круглое отверстие в дне диаметра d=3 см?

17. Под строительство больничного комплекса задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-t²+20t+5 (млрд. руб/год) в течение 10 лет с годовой процентной ставкой p=5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока

.

18. Дана функция предельных издержек MC=3q²-48q+202, 1≤ q≤ 20. Найти функцию C=C(q) и вычислить издержки в случае производства 10 ед. товара, если цена единицы товара – 50 руб. Указание. MC=C'(q).

19. В цехе выпускают продукцию 11 рабочих. Производительность i – го рабочего равна 1+0,1(i-1) кг продукции в час, i=1,...,11. Каждый рабочий дал 7 кг продукции. Определить суммарное время работы всех рабочих цеха и производительность труда всего цеха.

20. В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=1 м и высотой H=2 м через круглое отверстие в дне диаметра d=1 см? Указание. См. №11

21. В 1991 г. в некотором городе проживало 400 000 жителей, а в 1999 г. – 410 000. Найти среднюю численность населения в этом городе, используя формулу: , где – среднее население; T – период наблюдений; S₀ – численность населения к началу периода; S_T – численность населения к концу периода.

22. Под строительство цементного завода задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-2t²+30t+100 (млрд. руб/год) в течение 8 лет с годовой процентной ставкой p=7%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока

.

23. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 200 м, ширина в центре – 50 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?

24. Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют вид: , . Найти максимальное значение прибыли, которое можно получить от этого производства; когда производство следует остановить?

25. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид:

26. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и предложения на который имеют следующий вид:

27. Сколько лет нужно продолжать добычу нефти для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид: , ?

28. Сколько лет нужно продолжать добычу газа для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид:

, ?

29. Сколько лет нужно продолжать добычу руды для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид:

, ?

30. Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид: .

Найти функцию издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 9000 тыс. руб.

Литература

1. Е. Кочович, Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.

2. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум, часть I, II/Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005

3. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2003

4. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005

Составители:

Наталья Геннадьевна Дементьева

Вячеслав Федорович Казак

Ирина Эдуардовна Симонова

Задачи по математике для экономистов

Методические указания

Под редакцией авторов

Темплан 2007 г., поз. № 45.

Подписано в печать 16. 03. 2007 г. Формат 60×84 ¹/₁₆.

Бумага листовая. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 2,19. Усл. авт. л. 2,0.

Тираж 100 экз. Заказ №

Волгоградский государственный технический университет