4. Исследование функции и построение графиков

Пусть q -выпуск продукции (в натуральных единицах); R(q) - выручка от продаж; C(q) -издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль П(q)=R(q)-С(q).

1) Функции R(q),C(q) определены на [0;+∞) и дифференцируемы при q >0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q ≠ 0.

Если условия 1 и 2 выполнены, то функция П(q)=R(q)-С(q) дифференцируема и имеет на интервале (0;+∞) максимум в точке q*≠0. По теореме Ферма П′(q*) = 0. Так как П'(q) =R'(q) - С'(q), то в точке q = q * получаем R'(q*) = C'(q*). В случае, когда объем производства q не влияет на цену продукции p , имеем R(q) = pq; R'(q) = p, тогда p =C'(q*). Далее считаем, что функция C(q) определена и дифференцируема на промежутке [0;+∞). Таким образом, предельные издержки MC=C'(q).

Как и любая коммерческая фирма, конкурентная фирма стремится максимизировать свою прибыль, поэтому при данной цене продукции р она устанавливает объем выпуска q равным q* , где q*- точка глобального максимума функции прибыли. Следовательно, q*= S(p), где S(p) -функция предложения, Т.е. S(p) -обратная функция для функции C′(q).

Задачи.

1. Найти объем производства при цене р=15; С(q)=q³ + Зq.

2. Найти объем производства при цене p=100; C(q)=q²+2q+2.

3. Экспериментально установлено, что расход бензина у(х) (л) на 100 км пути автомобилем ГА3-69 в зависимости от скорости (км/ч) описывается функцией у(х) = 18-0.3x+0.003х², где 30≤ x<100. Цена бензина 1 у.е. за 1л. Определить:

1) наиболее экономичную скорость автомобиля, при которой расход бензина будет минимальной; 2) экономию в затратах на бензин на участке шоссе в 500 км при прохождении его с этой скоростью по сравнению со скоростью 90 км/ч.

4. Зависимость расхода автомобилем горючего от скорости движения задается функцией y(x)=20-0.4x+0.005x², где у(х) - расход горючего (л.) на 100 км пути, х -скорость автомобиля (км/ч). Как изменяется расход горючего в зависимости от скорости движения автомобиля?

5. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей - постоянной, равной а руб., и переменной -возрастающей пропорционально кубу скорости (коэффициент пропорциональности K). Найти крейсерскую скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично. Вычислить ее значение при а=640, К=0.04.

6. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

7. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести?

8. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры двора прямоугольной формы, которой можно огородить этими досками, используя для одной стороны двора стену близлежащего здания.

9. Себестоимость продукции С(тыс.руб.) описывается функцией С(х)=0.00025х³+0.0025х²+0.58х+19; 15≤ x≤ 550, где х - объем выпускаемой продукции в месяц (тыс.ед.). Определить, при каком количестве продукции прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по цене 2 тыс. руб. за 1 тыс.ед. Вычислить величину прибыли. Указание. Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации продукции и ее себестоимостью.

10. На станции В железной дороги ВД расположен завод В. Продукция этого завода поставляется заводу А. Ближайшей от А точкой железной дороги является Д. Расстояния ВД и АД равны соответственно 100 км и 40 км. Необходимо завод А связать прямолинейной шоссейной дорогой с железной дорогой так, чтобы провоз груза из В в А по маршруту ВСА был наиболее дешевым. Известно, что стоимость провоза единицы груза на расстояние 1 км по железной дороге равна 3 у.е.., а по шоссе 5 у.е. Где должно находиться начало шоссе? Сделать чертеж.

11. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега. Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на расстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир, выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?

12. Для изучения производственных операций следует произвести n замеров из общего числа N элементов изучаемого процесса. Суммарные затраты на выполнение такого хронометра определяются формулой S(n)=Со +С₁n +Nz / 750 , где Со, C₁-постоянные для этого вида операций величины, z -оплата труда рабочих за 1 час. Найти такое значение n, при котором затраты будут наименьшими, если С₁=0.05 руб/ч; z=0.9 руб/ч; N=l0000.

13. Общая сумма расходов на перевозку и хранение деталей на складе определяется формулой C(x)=sQ(x)+bx/2, где х -размер партии деталей; Q- необходимое число деталей для работы; s - затраты на перевозку одной партии деталей ; bx/2 -затраты на хранение половины партии (условно средний запас); Q/x - количество партий деталей. Определить оптимальный размер партии, при котором расходы будут минимальны. Вычислить это значение при Q=50, S=0,2 руб., b=0,1 руб.

14. База берет на себя обязательство хранения некоторого товара и его выдачи потребителю в объеме r=2,5 т. ежедневно. Стоимость хранения p товара на базе равна 8 руб. за 1т. в сутки. Получить товар база может в любом заранее оговоренном количестве и в любое указанное время, но только равными партиями объема q и через равные промежутки времени Т. стоимость хранения запаса q в течение Т суток равна pqT/2. Загрузка базы товаром и подготовка к его приему обходятся базе независимо от количества привозимого товара в p=l00 руб. Определить объем товара, который должна заказывать база, и интервалы поставки, чтобы суточные затраты были минимальными. Очередной заказ поступает в момент израсходования предыдущего. Указание. При составлении функции суточных затрат учесть, что T=q/r.

15. Производительность труда рабочих цеха определяется уравнением у = 11.3хе^-0,417x, где у – число деталей, изготовленных в единицу времени; х – время от начала работы (час). Исследовать функцию производительности труда на отрезке[0;8] и построить ее график

16. Трудоемкость проектировании микросхемы у (час) характеризуется зависимостью у=0.04x²-1.84х+25.1; 10≤ х≤ 40. Определить число элементов в микросхеме, при котором трудоемкость ее проектирования будет минимальной, а также величину соответствующей трудоемкости.

17. Пусть функция спроса на некоторый товар, имеющий цену х, есть y=f(x). Выручка от продажи товара составит z=xy. Как изменится выручка от продажи товара при повышении его цены при эластичном спросе, т.е. при условии, что |Е_х(у)| > 1?

18. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид C(q)=q² +6q+5. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.

19. Каково должно быть отношение высоты к радиусу основания конического шатра данной вместимости, чтобы на изготовление пошло наименьшее количество материала?

20. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид С(q)=3q²+18q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=24.

21. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид С(q)=5q²+160q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=200.

22. Зависимость потребления у от дохода х дли предметов первой необходимости задается функцией у(х) = ax/(x + b). Изобразить график этой функции.

23. Зависимость между товарооборотом и производительностью труда торговых работников универмага имеет вид у(х) = 2х + 8/х, где х -средний оборот на одного работника в относительных единицах. Исследовать эту зависимость, построить ее график.

24. Функция издержек имеет вид . Найти предельные издержки. Посчитать их значение и проанализировать результат при x=10.

25. Компании требуется произвести 1000 единиц некоторого товара в год. Издержки подготовки производства одной партии составляют 320 руб. Издержки производства товара составляют 8 руб. за единицу продукции, а издержки хранения – 1 руб. за единицу. Найти такое число единиц товара в партии x, при котором совокупные издержки производства и хранения были бы минимальны.

26. Функция издержек производства шин имеет вид . Цена одной шины 20 у.е. Найти точку безубыточности. Построить график.

27. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные – 300 руб. за одни часы. Цена часов 500 руб. Написать функции дохода и издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.

28. Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3 тыс. руб. Функция издержек линейная. Издержки составляют 48 тыс. руб. за 10 стульев и 43.2 тыс. руб. за 6 стульев. Составить функцию дохода и функцию издержек. Найти точку безубыточности.

29. Настольные лампы продаются по цене 1200 руб. каждая. Постоянные издержки составляют 24 тыс. руб. в месяц, а переменные – 800 руб. за лампу.

1. найти точку безубыточности, построить график.

2. сколько ламп фабрика должна произвести и продать, чтобы получить 15% дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?

30. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее функция издержек имеет вид C(q)=q² +4q+6. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.