3. Дифференциальное исчисление

Экономический смысл производной.

Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой однородной продукции x.

Пусть x  прирост продукции, тогда  y приращение издержек производства и y/x  среднее приращение издержек производства на единицу продукции.

Производная y’ = выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции x) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными затратами (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный продукт и другие величины. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).

Относительная скорость изменения (темп) функции y = f(x) определяется ее логарифмической производной

T_y = (ln y)’ = .

Эластичность функции y = f(x)  предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению независимой переменной x при x  0:

E_x(y) = .

Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп функции

E_x(y) = xT_y..

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при изменении независимой переменной x на 1%. Коэффициент эластичности применяется при анализе спроса и потребления. Если , то спрос считают эластичным, если , то нейтральным, если , то спрос неэластичен относительно цены (дохода).

Производственная функция  экономико-математическое выражение зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей (факторов). Производственные функции, в которых устанавливается зависимость объема производства продукции от наличия ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска продукции  функциями производственных затрат. В общей форме производственная функция имеет вид:

y =a ,

где y обозначает величину общественного продукта;  затраты ресурсов; a  коэффициент, зависящий от размерности единиц измерения затрат и выпуска;  параметры, численно равные коэффициентам эластичности выпуска относительно затрат соответствующего ресурса.

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

y = a ,

где y  национальный доход;  объемы соответственно трудовых ресурсов, производственных фондов, природных ресурсов. Для производственной функции y = f( ) отношение y/ выражает среднюю производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса, т.е. величину общественного продукта на единицу i-го ресурса. Частная производная

характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении i-го ресурса на 1 ед. (при постоянстве других ресурсов).

Задачи.

Производная функции, ее нахождение.

1. Функция издержек производства y(x) от объема продукции x имеет вид y(x) = 100x-0.2x³. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 12 ед.

2. Себестоимость продукции y(x) связана с объемом продукции x уравнением y(x) = 6ln(1 + 3x). Определить среднюю и предельную себестоимость продукции при объеме продукции 10 ед.

3. Производительность труда бригады рабочих может быть описана уравнением y(t) = -2.5t²+ 15t + 100, где 1≤ t ≤ 8  рабочее время в часах. Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при t = 2 и t = 7.

4. Себестоимость штангенциркулей на Ставропольском инструментальном заводе описывается функцией y(x) = 0.01x²- 0.5x +12 при 5 ≤ x ≤ 50, где x  объем выпускаемой за месяц продукции (тыс.ед.). Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске 20 тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции.

5. Стоимость произведенной продукции на 1 руб. основных промышленно-производственных фондов (фондоотдача) y(x) зависит от коэффициента сменности оборудования (характеризующего степень равномерности использования оборудования по сменам) x следующим образом: y(x) = +C, где C  const. Найти: 1) скорость изменения фондоотдачи при коэффициенте сменности оборудования x = 1.35; 2) функцию этого изменения, если C = 0, полагая, что некоторое время фондоотдача будет изменяться с постоянной скоростью.

6. В среднем расход на питание y(x) в зависимости от годового дохода x на душу населения описывается функцией y(x) = 25x^1/2. Вычислить: 1) скорость изменения расходов на питание при годовом доходе 16 тыс. у. е.. и 25 тыс. у. е. руб. 2) Полагая, что некоторое время расход на питание будет изменяться с постоянной скоростью, найти функцию этого изменения при годовом доходе 1600 руб. и 2500 руб.

7. Функция спроса y(x) (руб.) от доходов потребителя x (руб.) имеет вид y(x) = 2x + 5. Найти коэффициент эластичности спроса при доходе, равном 2000 руб.

8. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции однотипных предприятий y(x) (млн. руб.) и объемом производственных фондов x (млн. руб.), выражается функцией y(x) = 0.6x – 4. Найти коэффициент эластичности выпуска продукции для предприятия, имеющего производственные фонды 40 млн. руб.

9. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии x (тыс. шт.) и затратами на их изготовление y(x) (тыс. руб.) для предприятий отрасли выражается уравнением y(x) = 27/x + 6. Найти коэффициент эластичности для затрат предприятий.

10. Зависимость урожайности зерновых культур y(x) (ц/га) от количества осадков x(см.), выпавших в период роста растений, может быть выражена уравнением у(x)=-44+4х-0,05х². Найти коэффициент эластичности урожайности при количестве осадков: 1) 40 см.; 2) 30 см.

11. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(x) (в руб.) и выпуском продукции x (в млн. руб.) выражается уравнением у(x)=-0,5х+80. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 30 млн. руб.

12. Заданы функции спроса у(x) и предложения (количества товара, предлагаемого в продажу в единицу времени) z(x) от цены x: у(x)=10-х, z(x)=3x-6. Найти 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.

13. Функция предложения z(x) некоторого товара есть z(x) = (20+ х1) / (1 + 10х), а функция спроса у(x) = (25 -х+4х²) / (1 + 10х), где x-цена товара.

Определить: 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.

14. Зависимость потребления у(x) от дохода x задается функцией у(x)=ах/(x+b). Показать, что коэффициент эластичности потребления от дохода не зависит от параметра a и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.

15. 3адана функция у(x)=f(x) полных затрат предприятия на производство Х единиц продукции. Как связаны между собой коэффициенты эластичности полных и средних затрат?

16. Как связаны между собой предельные и средние полные затраты предприятия, если коэффициент эластичности полных затрат равен 1?

17. Задана функция полных затрат в виде y(x)= x³-2x². При каком объеме производства x предельные средние и полные затраты совпадают?

Пусть K=K(t) – приближенная величина вклада в момент времени t, r-ставка банковского процента. Если проценты начинаются один раз за период времени t, то проценты за этот период составят Krt, (r -номинальная ставка за год, t – доля года). Так как приращение вклада и проценты по вкладу -одно и то же, то К = Krt, а r = К / Kt. Заменяем приращение К на дифференциал dK = K't. Отсюда r≈K’t / K’t=K’/K=(lnK)′.

18. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) ^1,5 , где t -число лет от открытия вклада; Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.

19. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) ^1,8, где t -число лет от открытия вклада; Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.

Пусть A(t) -стоимость некоторого актива А в момент времени t, r – доходность от вложения денег в другие активы. Для простоты будем считать, что r не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать актив А? Для этого необходимо найти интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше r. Так как мгновенная доходность актива А совпадает с темпом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством [lnA(t)]′> r. Если данное неравенство задает интервал (t1, t2). то актив А следует купить в момент t₁ и продать в момент t₂.

20. Пусть r=10% годовых, А(t) = Ce^arctgt, где С –const. В какой момент времени выгоднее купить (продать) актив А?

21. Две реки следует соединить каналом. Первая река там, где должен проходить канал, имеет вид параболы у = x², а вторая река – вид прямой х-у-2=0. Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину. Как его нужно проложить? Составить уравнения канала. Сделать чертеж.

22. Функция спроса у (руб.) от цены х (руб.) продукта имеет вид у(х) = 100 - х. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара 20 руб.

23. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции x на предприятии выражается функцией у(х) = 50х+0.05х² . Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

24. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у(х) (в млн.руб.) и выпуском продукции х (в млн.руб.) выражается уравнением у(х)=-0.Зх+70. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 40 млн. руб.

25. Объем продаж видеомагнитофонов задается следующей функцией времени:

,

где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов, проданных за месяц. Найти скорость изменения объема продаж в момент времени t=3.

26. Население некоторой страны растет по следующему закону:

,

где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения населения при t=2.

27. Издержки удаления p процентов загрязнений из использованной воды равны . Найти скорость изменения издержек в точке p=52.5.

28. Выручка от оптовой продажи радиоприемников определяется функцией ,

где x – число проданных радиоприемников. Найти предельную выручку, если продано:

а) 100 радиоприемников; б) 200 радиоприемников.

29. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):

.

30. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):

.