2. Введение в математический анализ

В экономике многие зависимости могут быть заданы функциями как одной переменной y = f(x), так и нескольких переменных . Наличие функциональных зависимостей позволяет использовать аппарат математического анализа для решения экономических проблем. В качестве примеров функциональных зависимостей в экономике можно привести следующие функции, имеющие экономический смысл в некоторой области значений аргумента:

• Функция спроса от цены товара, y = f(x), x  цена товара, y  спрос на товар.

• Функция цены от спроса товара, y = f(x), x  спрос на товар, y  цена товара.

• Суммарная выручка, равная произведению количества проданного товара на цену товара, тоже является функцией спроса.

• Суммарные издержки производства F от объема производства x: F=F(x) и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) f  функции от объема производства x: f(x) = F(x)/x.

Суммарные издержки производства F иногда выражаются линейной функцией от объема выпускаемой продукции x: F(x) = ax + b, где a  сумма издержек первой группы на единицу продукции, b  издержки производства, не зависящие от объема выпуска (вторая группа). К первой группе издержек относятся расходы, зависящие от объема выпуска продукции, например, стоимость сырья, оплата рабочим и т.п. Ко второй группе относится амортизация здания, его отопление и т.п. Средние издержки, или себестоимость продукции, f(x) в этом случае имеет вид f(x) = F(x)/x = (ax+b)/x=a + b/x.

Задачи.

1. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии. Причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 1.45x + 20, а для второго варианта при x = 100 (дет), y = 157.5 (руб), при x = 300 (дет), y = 452.5 (руб). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 200 (дет).

2. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150x + 50 и y = 25x + 250, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

3. Известно, что средние издержки (себестоимость) определяются зависимостью y = 2x^p, где x объем производства. Определить значение p, если известно, что при x = 100, y = 20.

4. Известно, что стоимость рулона ткани y прямо пропорциональна x  количеству метров в рулоне. Зная, что цена 1 м ткани равна 130 руб, выписать функцию y = f(x) и вычислить стоимость рулона, содержащего 300 м.

5. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства при x = 20.

6. Прогноз численности населения на ближайшую перспективу можно производить по формулам: (1) y = y₀ + bt и (2) y = y₀ a^t , где y  численность населения; y₀  исходная численность (по переписям или оценке); b  средний абсолютный прирост, a  средний темп роста (в форме коэффициента роста); t (лет)  длина периода, на который производится прогноз. Определить численность населения в данном регионе через 3 года по формулам (1) и (2), если y₀ = 3*10⁴ , b = 3*10³, a = 1.1. Сравнить результаты.

7. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A = 10, B = 5. Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если A = 5, B = 15.

8. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a - b/(x + c). Полагая a = 2.8, b = 168, c = 10, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 158.

9. Продолжительность выполнения работы y (мин.) при повторяемых операциях есть величина, обратно пропорциональная числу x (шт.) этих операций. Построить график этой зависимости y = f(x), если известно, что при справедлива формула y = a/(x + c), причем при x = 0 y = 150, при x = 200 y = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях.

10. Рентабельность y связана с себестоимостью продукции x следующей зависимостью: y = a/x – 1 , где a  цена единицы продукции. Построить график этой зависимости при a = 100. Пояснить его экономический смысл. Вычислить рентабельность при x₁ = 50 и x₂ = 150. Дать пояснения.

11. Распределение дохода в капиталистическом обществе может быть описано законом Парето: y = ax^-m , где y  число лиц, имеющих доход, не меньший x; m, a  положительные постоянные. Требуется: 1) при a = 3*10⁹ , m = 3/2 определить число лиц, имеющих доход не меньше 1600 денежных единиц; 2) при a = 2*10⁹ , m = 3/2 определить число лиц, чей доход не меньше 10⁵ денежных единиц.

12. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:

а) точку безубыточности;

б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.

13. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 500 руб. под сложный процент, ставка которого 3%.

14. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 65x + 360 и y = 45x + 160, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

15. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта

y = 2x + 15, а для второго варианта при x = 20 (дет.) y = 150 (руб.), при x = 100 (дет.) y = 710 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 80 (дет.).

16. Определить сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, вкладывая 2500 руб. под сложный процент, ставка которого 5%.

17. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 5x + 40, а для второго варианта при x = 30 (дет.) y = 200 (руб.), при x = 90 (дет.) y = 800 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 60 (дет.).

18. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 150 y = 352, при x = 77 y = 301. Определить объем производства при x = 210.

19. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно, что при x = 100 y = 360, при x = 80 y = 240. Определить объем производства при x = 110.

20. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a – b/(x + c). Полагая a = 3, b = 250, c = 20, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 100.

21. Исследовать поведение функции спроса от цены товара y = при увеличении цены (x ).

22. Издержки перевозок двумя видами транспорта выражаются функциями y = 60x + 300 и y = 15x + 150, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

23. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья y от количества прошедших дней x. Построить график при A =20, B =5. Определить, каков остаток сырья через 5 дней, если A =10, B =15.

24. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы) определяются по формуле , где - объем партии, причем параметры и различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта , а для второго варианта при =100 (дет), =150 (руб.), при x=200 (дет), y=250. Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x=200 (дет).

25. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

1. Найти точку рыночного равновесия.

2. Найти точку равновесия после введения налога, равного 3%. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема продаж.

3. Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на 2 единицы?

   30. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

1. Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую точку равновесия и доход правительства.

2. Правительство установило минимальную цену, равную 7. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?

30. Предприятие купило автомобиль стоимостью 40 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 10% от цены покупки. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость автомобиля: а) через 5 лет; б) через 6 лет и 3 месяца.

31. Газовая плита была куплена за 8000 руб. Амортизация начисляется линейно и составляет 15% в год от первоначальной стоимости.

Найти:

1. стоимость газовой плиты через t лет;

2. стоимость газовой плиты через 6 лет после начала эксплуатации;

3. срок службы плиты.

29. Фирма купила четыре одинаковых компьютера. Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет 1200 у.е., остаточная – 80 у.е. Срок жизни компьютера по норме – 4 года. Через 2 года компьютеры были проданы по цене 600 у.е. каждый. Построить график функции, определяющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от времени t. Какую прибыль получило предприятие после продажи?

30. Станок был куплен за 20 тыс. руб., его остаточная стоимость – 600 руб. Определить срок службы станка, если:

1. амортизация начисляется ежегодно из расчета 10% от последней стоимости станка;

2. норма амортизации составляет 10% от первоначальной стоимости.