Задание 2.

Замкнутая система автоматического регулирования состоит из 3-х последовательно соединенных звеньев (рис.3). Второе звено охвачено местной обратной связью.

Определить устойчивость системы по критерию Гурвица и по критерию Михайлова.

Рис.3 - Схема САР в виде соединения динамических звеньев

Зная передаточные функции отдельных звеньев, несложно получить общую передаточную функцию разомкнутой САР: , а затем получить и передаточную функцию замкнутой САР:

Здесь в знаменателе знак (+) соответствует обратной отрицательной связи, а знак (-) соответствует положительной обратной связи.

Найдем общую передаточную функцию для разомкнутой САР, для чего имеющуюся замкнутую автоматическую систему разомкнем в точке Q.

В этой задаче местная обратная связь отрицательная и передаточная функция второго звена определяется уравнением:

Общая передаточная функция для последовательной разомкнутой системы будет равна:

Определение устойчивости сар по критерию Гурвица.

Чтобы определить устойчивость САР по критерию Гурвица, необходимо вначале найти характеристическое уравнение для замкнутой САР_.

Передаточная функция для разомкнутой системы:

Для замкнутой системы в случае единичной отрицательной обратной связи передаточная функция будет равна:

где знаменатель, приравненный к нулю, есть характеристическое уравнение для замкнутой САР, т.е.:

Определитель Гурвица составляется следующим образом. Все коэффициенты от а₁ до а₄ располагаются по главной диагонали в порядке возрастания индексов. Вверх от главной диагонали в столбцах записываются коэффициенты характеристического уравнения с последовательно возрастающими, а вниз — с убывающими индексами. На месте коэффициентов, индексы которых больше 4, и меньше чем нуль, проставляются нули. Составляем определитель из коэффициентов характеристического уравнения:

Находим величины 2-ого и предпоследнего (в нашем случае 3-го) определителей Гурвица

>0

По критерию Гурвица система устойчива только тогда, когда все коэффициенты a₁, характеристического уравнения и все определители Гурвица ∆_n до n-1 порядка, где n – наибольшая степень характеристического уравнения, больше нуля.

Вывод: Так как определитель Гурвица ∆₃ отрицательный, то согласно критерию Гурвица рассматриваемая САР неустойчива.

САР можно сделать устойчивой, если изменить коэффициенты характеристического уравнения. Для этого приравняем нулю уравнение (1) и возьмем за неизвестное, например, ко­эффициент а₄. Найдем из уравнения (1) этот коэффициент.

Если теперь выбрать вместо предыдущего коэффициента а₄=2560 новое меньшее, чем 185,5 значение, например, а₄=180 то определитель ∆₃ будет больше нуля и САР станет устой­чивой, то есть

∆₃=

Определение устойчивости сар по критерию Михайлова.

+2560

Заменяем в этом полиноме оператор р на jω и выделяем действительную и мнимую части полученного выражения

Теперь, задавая значения частоты ω от нуля до бесконечности в рад/с, находим значения действительной и мнимой частей вектора Михайлова М(jω), а затем по ним строим годограф Михайлова (рис.3).

ω	0	1	2	3	…	12	13	…	∞
Re(ω)	2560	1108	-2096	-3596	…	1770304	2482804	…	+∞
Im(ω)	0	- 1864	-16448	-56472	…	-3660288	-4654312	…	-∞

Рис. 3 - Годограф Михайлова, построенный для исследуемой САР.

Вывод: САР не устойчива, т.к. годограф не проходит число квадрантов равное максимальной степени характеристического уравнения.