Приклад 13. Ооцінка адекватності і точності трендової моделі

Для часового ряду, представленого в перших двох графах табл. 13.2, побудована трендова модель у вигляді полінома першого степеня (лінійна модель):

Потрібно оцінити адекватність і точність побудованої моделі.

Розв’язання

Спочатку сформуємо залишкову послідовність (ряд залишків), для чого з фактичних значень рівнів ряду віднімемо відповідні розрахункові значення за моделлю: залишкова послідовність наведена у гр. 4 табл. 13.2.

Таблиця 13.2. Розрахункові дані задачі

				Точки пікіов
1	85	84,4	0,6	–	0,36	–	–	0,71
2	81	81,0	0,0	1	0,00	-0,6	0,36	0,00
3	78	77,6	0,4	1	0,16	0,4	0,16	0,49
4	72	74,1	-2,1	1	4,41	-2,5	6,25	2,69
5	69	70,7	-1,7	0	2,89	0,4	0,16	2,46
6	70	67,3	2,7	1	7,29	4,4	19,36	3,86
7	64	63,8	0,2	1	0,04	-2,5	6,25	0,31
8	61	60,4	0,6	1	0,36	0,4	0,16	0,98
9	66	57,0	-1,0	–	1,00	-1,6	2,56	1,79
45	636	636,3	-0,3	6	15,51	–	35,26	13,29

Перевірку випадковості рівнів ряду залишків проведемо на основі критерію піків (поворотних точок). Точки піків відзначені у гр. 5 табл. 13.2; їх кількість дорівнює шести . Права частина нерівності (13.13) дорівнює в даному випадку 2, тобто ця нерівність виконується. Отже, можна зробити висновок, що властивість випадковості ряду залишків підтверджується.

Результати попередньої перевірки дають можливість провести перевірку відповідності залишкової послідовності нормальному закону розподілу. Скористаємося -критерієм.

Розмах варіації:

;

середнє квадратичне відхилення:

Отже, . Це значення потрапляє в інтервал між нижньою і верхньою межами табличних значень даного критерію (для і рівня значимості межі становлять відповідно 2,7 і 3,7). Тобто, властивість нормальності розподілу виконується.

Виконаємо перевірку рівності (близькості) нулю математичного очікування ряду залишків. За результатами обчислень в табл. 13.2 математичне сподівання дорівнює . Отже, можна підтвердити виконання даної властивості, не вдаючись до статистики Стьюдента.

Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків (відсутності автокореляції) обчислимо значення критерію Дарбіна-Уотсона. Розрахунки значення критерію (див. п. 7.3.), представлені у гр. 6, 7, 8 табл. 13.2, дають наступне значення цього критерію: . , що свідчить про негативну автокореляцію, тому критерій Дарбіна-Уотсона необхідно перетворити: . , . Оскільки, , то рівні залишкової послідовності незалежні.

Таким чином, залишкова послідовність задовольняє всім властивостями випадкової компоненти часового рада, отже, побудована лінійна модель є адекватною.

Для характеристики точності моделі обчислимо показник середньої відносної помилки апроксимації:

, що свідчить про достатньо високий рівень точності побудованої моделі (помилка менше 5% свідчить про задовільний рівень точності; помилка в 10% і більше вважається дуже великою).