10.8. Методи оцінювання невідомих параметрів симультативних моделей
Оцінювання ототожненого рівняння: метод непрямих найменших квадратів
Для точно ототожненого структурного рівняння можна отримати структурні параметри з МНК – оцінок коефіцієнтів скороченої форми методом, відомим під назвою метод непрямих найменших квадратів. Оцінки параметрів за цим методом умовно розбивається на три етапи.
1. Спочатку отримуємо рівняння скороченої форми. Для цього виражаємо залежну змінну в кожному рівнянні виключно через попередньо визначені (екзогенні та лагові) змінні та випадкові величини.
2. Окремо до кожного рівняння скороченої форми застосовуємо МНК. Це можливо, оскільки пояснювальні змінні в даних рівняннях попередньо визначені, а отже, некорельовані з випадковими величинами.
3. Отримуємо оцінки початкових структурних параметрів з оцінених на другому етапі коефіцієнтів скороченої форми. Якщо рівняння точно ототожнене, є взаємна відповідність між структурними параметрами та коефіцієнтами скороченої форми.
Оцінювання переототожненого рівняння: метод двокрокових найменших квадратів
Метод
складається з двох етапів. Якщо застосувати
МНК для оцінки невідомих параметрів
переототожненого рівняння, то отриманні
оцінки будуть зміщеними через кореляцію
між залежною змінною
та випадковою величиною.
1. Щоб позбутися кореляції, будують регресійні рівняння залежності ендогенних змінних лише від попередньо визначених. Тобто, будуємо рівняння скороченої форми структурної моделі, використовуючи МНК.
2. З побудованих рівнянь знаходимо нові значення ендогенних змінних, які будуть використовуватися для оцінки параметрів структурної моделі.
Використовуючи нові дані, знаходять оцінки параметрів структурної моделі. При цьому до переототожненого рівняння застосовують МНК, оскільки переоцінені ендогенні змінні та випадкові величини не є корельованими.
Характерні особливості методу 2МНК:
1. Метод можна застосовувати до окремого рівняння в системі без врахування інших. Отже, для економетричних моделей. Що складаються з великої кількості рівнянь, метод 2МНК є дуже економним, тому він широко використовується на практиці.
2. На відміну від ННК, який дає декілька різних оцінок параметрів у переототожнених рівняннях, 2МНК діє лише одну оцінку параметра.
3. Для застосування методу 2МНК потрібно знати лише загальну кількість екзогенних або попередньо визначених змінних у системі.
4. Хоча метод 2МНК був спеціально розроблений для переототожнених рівнянь, його можна застосовувати до точно ототожнених рівнянь. У цьому випадку ННК та 2МНК дадуть ідентичні оцінки.
Приклад 9. Побудова системи одночасних структурних рівнянь
Розглянемо
модель з двох регресій, одна з яких
характеризує величину експорту товарів
,
а друга – імпорту
( в
ум.
гр. од.). В якості попередньо визначених
змінних (екзогенних величин) розглянемо
національних дохід
та середній обіг зовнішньої торгівлі
країн блоку СНД
:
Таблиця 10.1. Вихідні дані задачі
-
70
5,5
55
73
75
6,1
63
86
77
6,9
71
94
80
7,4
80
103
85
7,9
93
111
92
8,3
103
117
99
8,8
117
122
103
9,1
128
130
107
9,8
139
135
112
10,2
151
139
За даними спостереження побудувати за допомогою ННК та 2МНК модель на основі одночасних структурних рівнянь, яка характеризує стан зовнішньої торгівлі країни.
Розв’язання
Для кожного рівняння перевіримо умову порядку:
Функція
експорту:
рівняння
точно ототожнене.
Функція імпорту: рівняння точно ототожнене.
Таким чином, в даній моделі ми маємо змогу знайти оцінки параметрів обох рівнянь за допомогою ННК чи застосувавши 2МНК.
Запишемо скорочену форму даної системи рівнянь:
Параметри визначених регресій знайдемо за допомогою МНК. В результаті скорочена форма структурної моделі матиме вигляд:
Виконаємо необхідні розрахунки для оцінки коефіцієнтів детермінації та фактичних значень критерію Фішера для отриманих регресійних рівнянь.
Таблиця 10.1. Розрахункові дані задачі
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
73 |
52,59 |
75,56 |
2025,00 |
1444,00 |
2247,25 |
1255,96 |
63 |
86 |
64,31 |
84,05 |
1369,00 |
625,00 |
1273,95 |
726,16 |
71 |
94 |
72,10 |
95,69 |
841,00 |
289,00 |
778,59 |
234,51 |
80 |
103 |
79,90 |
102,84 |
400,00 |
64,00 |
403,99 |
66,57 |
93 |
111 |
91,06 |
109,86 |
49,00 |
0,00 |
79,94 |
1,29 |
103 |
117 |
105,02 |
115,28 |
9,00 |
36,00 |
25,18 |
18,31 |
117 |
122 |
119,53 |
122,17 |
289,00 |
121,00 |
381,45 |
124,71 |
128 |
130 |
127,90 |
126,31 |
784,00 |
361,00 |
778,59 |
234,51 |
139 |
135 |
138,49 |
136,34 |
1521,00 |
576,00 |
1481,70 |
642,28 |
151 |
139 |
149,10 |
141,89 |
2601,00 |
784,00 |
2410,51 |
954,42 |
|
|
Сума |
9888,00 |
4300,00 |
9861,16 |
4258,73 |
|
Для
заданого рівня значимості
та
і
ступенів свободи фактичні значення
критерію Фішера значно перевищують
його критичне значення, тобто побудовані
регресії є адекватними зі ймовірністю
0,95.
Знаходимо оцінки параметрів структурної моделі за ННК.
За формулами:
обчислюємо:
;
;
;
;
;
.
Таким чином:
Знаходимо оцінки параметрів структурної моделі за 2МНК.
Використовуючи оцінені значення ендогенних змінних і (в таблиці) та дані спостереження за змінними і і застосовуючи МНК другий раз знаходимо оцінки структурних параметрів. В результаті:
Два різні методи побудови моделей на основі одночасних структурних рівнянь дозволили отримати однакові результати. При цьому ННК був застосований, оскільки обидва рівняння системи точно ототожнені, а даний метод створений для оцінки параметрів точно ототожнених рівнянь. 2МНК був створений для оцінки параметрів переототожнених рівнянь моделі, проте його властивості дозволяють використовувати цей метод для оцінки параметрів в тому числі точно ототожнених рівнянь. На прикладі ми переконалися, що отримані оцінки справді однакові.