5. Багатофакторна лінійна регресія

5.1. Класична лінійна багатофакторна модель

На практиці економічний процес змінюється під впливом багатьох чинників, які треба вміти виявити та оцінити.

Багатофакторний регресійний аналіз допома­гає знайти явний вигляд такої залежності та кількісно оцінити вплив різних чинників на досліджуваний процес.

Узагальнена багатофакторна регресійна лінійна модель має вигляд:

,

де – результативна змінна; – факторні змінні; – стохастична складова, – параметри моделі, а вибіркова регресійна модель:

,

де – оцінки параметрів моделі.

Щоб мати явний вигляд залежності, необхі­дно знайти (оцінити) невідомі параметри цієї моделі.

Лінійною регресійною моделлю називається модель, лінійна за своїми параметрами.

У нашому вигляді модель має незалежних змінних, або чинників, що впливають на залежну змінну.

5.2. Основні припущення в багатофакторному регресійному аналізі

Багатофакторна лінійна регресійна модель є уза­гальненням простої лінійної регресійної моделі, тому всі основні класичні припущення для неї зберігають­ся, але дещо модифікуються.

1. Математичне сподівання залишків дорівнює нулю.

2. Значення вектора залишків незалежні між собою, тобто відсутня серійна кореляція.

3. Модель гомоскедастична.

4. Коваріація між випадковою величиною та кож­ною незалежною змінною дорівнює 0.

Відзначимо, що властивість 4 виконується автоматично, якщо не стохастичні та припу­щення 1 має силу.

5. Модель повинна бути правильно специфікованою.

6. Випадкова величина підпорядковується нормаль­ному закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і постійною дисперсією.

7. Відсутність мультиколінеарності між факторами , тобто фактори повинні бути незалежними один від одного. Не повинно бути точного лінійного зв’язку між двома або більше факторами.

Припущення 7 для простої лінійної регресії від­сутнє, але надзвичайно важливе для багатофакторної регресії.

Якщо всі припущення класичної лінійної регресій­ної моделі виконуються, то МНК-оцінки є не тільки лінійними без відхилень оцінками, але мають ще най­меншу дисперсію, тобто є BLUE -оцінками.

5.3. Етапи побудови багатофакторної регресійної моделі

Процес побудови багатофакторної регресійної моделі більш складний, ніж простої; він складається з багатьох досить кропітких етапів.

Можна виділити такі етапи побудови багатофак­торної регресійної моделі:

1. Вибір та аналіз усіх можливих факторів, які впливають на процес (або показник), що вивчається.

2. Вимірювання та аналіз знайдених факторів.

3. Математико-статистичний аналіз факторів.

4. Вимір методу та побудова регресійної багато­факторної моделі.

5. Оцінка невідомих параметрів.

6. Перевірка моделі на адекватність.

7. Розрахунок основних характеристик та побу­дова інтервалів довіри.

8. Аналіз отриманих результатів, висновки.

5.4. Розрахунок невідомих параметрів багатофак­торної регресії за мнк

Нехай ми маємо ряд спостережень за залежною змінною та за незалежними змінни­ми або факторами: . Виходячи з цих спостережень, побудуємо лінійну вибіркову багатофакторну модель.

Як і у випадку простої лінійної регресії, невідомі оцінки параметрів знаходимо за методом найменших квадратів, тобто мінімізуючи суму квадратів відхилень.

Для того, щоб знайти мінімум даної суми, необ­хідно прирівняти до нуля часткові похідні. Ми отри­маємо систему нормальних рівнянь. Зважаючи на досить громіздкий вигляд системи нормальних рівнянь у загальному випадку, ми не будемо її наво­дити. Відмітимо, що перетин (оцінка параметра ) розрахо­вується аналогічно до простої регресії на основі середніх значень.

Якщо лінійну багатофакторну регресійну модель записати в матричному вигляді (див. п. 5.6.):

то оцінку вектора параметрів моделі можна знайти за формулою: