3.2. Побудова одно- та багатовимірних функцій корисності

Можливість декомпозиції багатовимірної функції корисності суттєво полегшує зав­дання її побудови, оскільки значною мірою звільняє децидента від порівняння й оці­нювання багатовимірних альтернатив. Розглянемо основні можливості побудови одновимірних і багатовимірних функцій корисності.

Запровадимо такі позначення:

• - відповідно найкраще та найгірше значення критерію , j = 1, 2, ..., п;

• ( = - вектор, складений із найгіршого значення критерію і деяких фіксованих значень інших критеріїв;

• = ( ) - вектор, складений із найкращого значення j-го критерію та фіксованих значень інших критеріїв, причому для всіх і = 1, 2, ..., j - 1, j + 1, ..., п, ≥

Якщо критерії незалежні за перевагою, то багатовимірна функція цінності U(Q) має вигляд

Функція що відображає оцінку значення критерію , є і-ю компонентою функції корисності, а - вагою критерію

Тому побудова багатовимірної функції корисності U( ) для незалежних за перевагою критеріїв полягає у визначенні відповідних функцій та ваг і = 1,..., п.

Оскільки функція нормалізована = 0, ( ) = 1), то її побудова починається з визначення точки, що має суб'єктивно середнє значення цінності в ін­тервалі . Інакше кажучи, потрібно знайти таке значення , для котрого ( = 0,5 тобто таке, що інтервали і еквівалентні за різ­ницею цінності. Значення задовольняє зазначену вимогу, якщо з випливає як наслідок . Отже, коли децидент поступається кількома одиницями за іншими критеріями, переходячи від до , для того, щоб перейти від до , він має погодитися віддати рівно стільки ж одиниць за перехід від до . Знайшовши точку , аналогічно шукають точки і , середні за цінністю відповідно в інтервалах і ). Які доводить практика побудови компонент функції корисності, п'яти то­чок ( ), цілком достатньо для графічного подання (рис. 11) і дозволяє достатньо точно апроксимувати j-ту компоненту функції корисності.

Якщо ж потрібно побудувати функцію корисності з більшою точністю, то, використо­вуючи наведену процедуру, визначають й інші проміжні точки.

Виконуючи зазначені дії, бажано перевіряти узгодженість якісних оцінок децидента за допомогою визначення точки, середньої за корисністю між і . Якщо це значення суттєво відрізняється від , то потрібно виявити й усунути причину не­узгодженості в оцінках децидента.

Визначати ваги при компонентах багатовимірної функції корисності (або, як їх нази­вають у теорії корисності, значення коефіцієнтів шкалювання) можна декількома спо­собами, один із яких ми й розглянемо.

Уведемо такі позначення: І = {1, 2, ..., т) множина індексів критеріїв; Т підмножи - на множини I; = І\Т - доповнення множини Т до Q^T - вектор, у якому Q_j = , якщо j ϵ T, і Q_j = , якщо j ϵ .

Якщо Т - одноелементна множина {j}, то U_j(j^(j)) =λ_j = К({j}).

Одним із можливих методів визначення коефіцієнтів є наступний. На початку всі λ_j упорядковують за спаданням (ранжуються), а потім знаходять їх точні числові зна­чення, будуючи системи рівнянь щодо них після опитування децидента й фіксування моментів настання байдужості між векторами значень критеріїв.

Щоб детально пояснити описану послідовність дій, розглянемо такий приклад.

Приклад 1. Децидент використовує для оцінювання альтернатив чотири критерії (Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Для кожного з них побудовано відповідні компоненти функцій корисності U₁(Q₁), U₂(Q₂), U₃(Q₃), U₄(Q₄). Потрібно побудувати процедуру визначення коефіцієнтів шкалювання та відпо­відну систему рівнянь за умови, що Т - одноелементна множина.

Оскільки множина Т одноелементна, відповідні вектори значень критеріїв, що використо­вуються для визначення коефіцієнтів шкалювання λ₁, λ₂ , λ₃ ,λ₄ будуть наступні.

Q⁽¹⁾ = ( Q⁽²⁾ = (

Q⁽³⁾ = ( Q⁽⁴⁾ = (

Спочатку опитуємо децидента, щоб проранжувати наведені вектори значень критеріїв. Після ранжування децидент упорядкував вектори наступним чином: (Q)⁽²⁾ (Q)⁽¹⁾ (Q)⁽⁴⁾ (Q)⁽³⁾.

На наступному кроці децидент порівнює вектори Q⁽²⁾ = ( та Q⁽¹⁾ = ( . згідно з встановленим ранжуванням. Дециденту пропонується зменшувати значення складової Q₂ вектора Q⁽²⁾ від максимального до такого Q^'₂, за якого на­стане момент байдужості між Q⁽²⁾ та Q⁽¹⁾, тобто виконуватиметься співвідношення ( Q^'₂ , ) ~ ( За цієї умови виконуватиметься рівність λ₂U₂( ) = λ₁ , де значення λ₂U₂( ) обчислено безпосередньою підстановкою , оскільки від­повідні компоненти функцій корисності відомі за умовою.

Після цього продовжуємо порівнювати значення Q⁽¹⁾ із Q⁽⁴⁾ та Q⁽⁴⁾ з Q⁽³⁾, щоб отримати відпо­відно значення та . Доповнивши одержані умови умовою нормування, отримаємо систе­му чотирьох рівнянь з чотирма невідомими, розв'язавши яку, визначимо коефіцієнти шка­лювання.

Звичайно, це не єдиний спосіб визначення коефіцієнтів шкалювання. Можна поста­вити децидентові додаткові запитання та скласти «перевизначену» систему рівнянь (зазвичай суперечливу), а потім спробувати зменшити суперечливість відповідей де­цидента, організувавши кілька турів опитувань із подальшим. розв'язанням надлиш­кової системи методом найменших квадратів.

Слід також відзначити, що функція К, визначена на підмножинах множини Т, має властивості, аналогічні властивостям міри ймовірності, тобто К(Т) ≥ 0; К(І) = 1; для Т ⊆ I K(S ∪ Т) = K(S) + К(Т), якщо S ∩ T= Ø. Це дає змогу визначити спочатку не λ₁, λ₂,..., λ_n, а числові значення коефіцієнтів шкалювання К(Т) для деяких спеціально підібраних підмножин множини критеріїв. Такий підхід може значно полегшити зада­чу децидента ЩОДО порівняння векторних альтернатив, особливо за умови наявності заздалегідь побудованого дерева цілей задачі прийняття рішень, що розвязується.