3. Побудова функцій корисності

3.1. Структурні умови незалежності

Декомпозиція багатовимірної функції корисності

Окрім аксіом існування, наведених у попередньому розділі, широко застосовуються аксіоми незалежності, або структурні умови незалежності. Вони мають більше прак­тичне значення, оскільки дають змогу виконувати декомпозицію багатовимірної фун­кції корисності, і таким чином полегшують її побудову, тому що в цьому разі кожну складову функції корисності будують незалежно від інших.

Річ у тім, що наявні процедури спільного шкалювання дають змогу відновити тільки двовимірну функцію корисності. Якщо кількість критеріїв m ≥ 3, то ці процедури стають практично непотрібними, оскільки в цьому випадку існують лише теоретичні підходи до зменшення розмірності.

Розіб'ємо множину критеріїв Q на дві підмножини Z та Y, що доповнюють одна одну, тобто Z, Y⊆Q, Z ∪ Y = Q, Z ∩ Y = Ø; і введемо поняття незалежності за перевагою.

Означення 7.1. Множина критеріїв Y незалежна за перевагою від множини Z, що її доповнює, тоді й лише тоді, коли структура умовної переваги в просторі У за фіксо­ваного z' не залежить від z' .Тобто, Y не залежить від Z за тієї і лише за тієї умови, що для деякого z' (у', z') = (у'', z') ⇒ (у', z) = (Y", z) для всіх z, у', у"

Якщо, децидент вважає, що підмножина критеріїв У не залежить за перевагою від до­повнюючої множини Z, то йому варто структуризувати свої переваги за у для фіксо­ваного z', тому що не потрібно повторювати це для інших рівнів z. У такому випадку є сенс побудувати функцію корисності U_Y, визначену для у, не конкретизуючи z'. Та­ка функція має задовольняти лише умову

(у', z) = (y", z) ⇔ U_Y(y') ≥ U_Y(y").

Отже, якщо множина Y не залежить за перевагою від Z, то багатовимірна функція ко­рисності U(r) = U(y, z) залежить від у через функцію корисності U_Y (y).

Якщо множина Y не залежить за перевагою від Z i Z не залежить за перевагою від Y, то

U(r) = U(у, z) = ψ (U_Y(y),U_z(z)),

де U, U_Y, U_z - функції цінності, призначені для відображення системи переваг децидента (їх аргументами - відповідно r, у і z); ψ — функціонал, що пов'язує U_Y і U_z для подання U.

Означення 7.2. Критерії Q₁ Q₂, Q_m називають взаємонезалежними за перевагою, якщо кожна підмножина Y множини критеріїв Q не залежить за перевагою від свого доповнення.

Теорема 7.2. Для критеріїв Q₁, Q₂ ..., Q_m, m ≥ 3, адитивна функція корисності

U(Q)=U(Q₁, Q₂, ..., Q_m) = ,

де - функція корисності за критерієм -, існує тоді й лише тоді, коли критерії взаємонезалежні за корисністю.

Замість того, щоб використовувати адитивні функції корисності в найзагальнішому вигляді, зручніше змінити масштаб функції корисності U та кожної функції U_i так, щоб вони змінювалися від 0 до 1, тобто пронормувати їх. Таким чином адитивна фу­нкція корисності набере вигляду

U(Q)=U(Q₁, Q₂, ..., Q_m) = ,

де 0 ≤ U ≤ 1, 0 ≤ ≤ 1, і = 1, 2, ..., m та > 0

Практично реалізується перевірка взаємної незалежності кількості від трьох до семи критеріїв. Якщо їх більше, то доцільно використовувати результати наступних теорем.

Теорема 7.3. Якщо кожна пара критеріїв не залежить за перевагою від свого допов­нення, то критерії взаємонезалежні за перевагою.

Теорема 7.4. Якщо X і Z - підмножини множини критеріїв Q, що перетинаються, але жодна з них не міститься в іншій, їх об'єднання не тотожне Q та кожна з підмножин X і Z не залежить за перевагами від свого доповнення, то кожна з наступних множин критеріїв Х∪Z, Х∩Z, Х \Z,Z\ Х,Х\ Z∪Z\Х є незалежною за перевагою від власного доповнення.

Ці властивості дають змогу будувати раціональні процедури перевірки виконання умов взаємної незалежності критеріїв за перевагою. При цьому важливо вдало групу­вати окремі критерії в підмножини, грунтуючись на змістовному аналізі задачі та пе­ревіряючи, чи є ці підмножини взаємно незалежними за перевагою.

Навіть тоді, коли властивість взаємної незалежності за перевагою не виконується, на­явність деяких властивостей незалежності за перевагою може допомогти в побудові багатовимірної функції цінності. Наступна теорема конкретизує один з таких доволі загальних випадків.

Теорема 7.5. Нехай задано критерії ( ). Якщо ( ) та ( ) не зале­жать за перевагою від своїх доповнень, то існує функція корисності у вигляді U(Q) = U( ) = ψ(y, ), де y = U₁( ) + U₂( ) + ( ) та ψ - функція, що зростає за першою змінною.

Важливо, що , і = 1, ..., 4, у теоремі 7.5 можуть бути векторними критеріями, а тому ці результати можна застосовувати послідовно, тобто рекурсивно стосовно різних рів­нів дерева цілей і критеріїв, структуруючи одну функцію корисності. Окрім наведе­них існують й інші еквівалентні формулювання умов незалежності.