
- •1. Концепція корисності та її розвиток
- •1.1. Поняття корисності в економіці
- •1.2. Розвиток концепції корисності Корисність у працях Джеремі Бентгама
- •1.3. Види корисності Експериментальна корисність
- •2. Прийняття рішень на ґрунті функції корисності
- •2.1. Постулати раціонального вибору в економіці
- •2.2. Парадокси економічного вибору Парадокс Адама Сміта
- •2.3. Умови існування функції корисності Криві байдужості та функції корисності
- •2.4. Раціональний вибір і поведінка децидента
- •3. Побудова функцій корисності
- •3.1. Структурні умови незалежності
- •3.2. Побудова одно- та багатовимірних функцій корисності
- •3.3. Багатокритерійна теорія корисності Порядок застосування й аксіоми maut
- •Висновок:
3.3. Багатокритерійна теорія корисності Порядок застосування й аксіоми maut
Основні результати теорії корисності отримали подальший розвиток у багатокритерійній теорії корисності - MAUT (Multi - Attribute Utility Theory). Цей науковий напрям має такі особливості:
будується функція корисності, що має аксіоматичне обґрунтування;
деякі умови, від яких залежить вигляд цієї функції, можуть бути перевірені у діалозі з децидентом;
використання отриманих результатів для оцінювання заданих альтернатив.
Основними етапами MAUT є наступні.
Складання переліку критеріїв.
Побудова функцій корисності за кожним із критеріїв.
Перевірка певних умов, від яких залежить вигляд загальної функції корисності.
Побудова залежності між оцінками альтернатив за критеріями та загальною якістю альтернативи (багатокритерійної функції корисності).
Оцінювання наявних альтернатив і обрання найкращої.
Подібно до класичної теорії корисності, MAUT має аксіоматичне обґрунтування. Це означає, що сформульовано деякі умови (аксіоми), які має задовольняти функція корисності децидента. Якщо умови задовольняються, то доводять існування функції корисності того чи іншого вигляду. У багатокритерійній теорії корисності ці умови можна поділити на дві групи.
До першої групи - загальних аксіом, ідентичних використовуваним у теорії корисності, належать такі.
Порівняльність. Між корисностями будь-яких альтернатив можна встановити такі відношення: або одна з них краща за іншу, або вони однакові.
Транзитивність. Із переваги альтернативи А за корисністю над альтернативою В та переваги альтернативи В за корисністю над С випливає перевага альтернативи А за корисністю над альтернативою С.
Для співвідношень між корисностями альтернатив А,В,С, що мають вигляд U(A) > U(B) > U(C), можна вказати такі числа α та β (0 < α < 1, 0 < β < 1), що виконуватимуться умови α U(A) + (1 - α)U(C) = U(B), (1- β) U(A) + βU(B) > U(B).
Аксіома 3 ґрунтується на припущенні, що функція корисності неперервна, і можна оперувати будь-якими малими частинами корисності альтернатив.
Друга група аксіом - аксіоми незалежності - специфічна для МАUТ. Вони дають змогу стверджувати, що деякі взаємні відношення між оцінками альтернатив за критеріями не залежать від значень за іншими критеріями. Наведемо декілька умов незалежності.
Незалежність за різницею. Переваги між двома альтернативами, що відрізняються лише оцінками за порядковою шкалою одного з критеріїв Q1, не залежать від однакових (фіксованих) оцінок за іншими критеріями Q2 ,..., Qn . На перший погляд ця умова здається природною й очевидною. Але вона виконується не завжди. Так, обираючи автомобіль, за приблизно однакової ціни двох моделей децидент схильний віддати перевагу більшій за розміром машині. Проте його перевага змінюється на протилежну, коли він дізнається, що в цієї машини не гідравлічна, а механічна коробка передач, що ускладнює керування.
Незалежність за корисністю. Критерій Q1 називається незалежним за корисністю від критеріїв Q2,..., Qn, якщо порядок переваг лотерей, у яких змінюються лише рівні критерію Q1, не залежить від фіксованих значень за іншими критеріями. У багатокритерійній теорії корисності лотереї використовують для побудови функцій корисності за окремими критеріями.
Незалежність за перевагами. Ці умови є одними з найважливіших умов, що часто використовуються. Два критерії Q1 та Q2 незалежні за перевагою від інших критеріїв Q3, ..., Qn , якщо переваги між альтернативами, що різняться лише значеннями Q1 та Q2 не залежать від фіксованих значень за іншими критеріями.
Перші дві аксіоми незалежності стосуються незалежності одного критерію від інших, третя ж — незалежності пари критеріїв від інших.
Хоча аксіому незалежності за перевагою широко використовують у МАUТ, вона може порушуватися. Розглянемо проблему вибору дачі для літнього відпочинку за критеріями комфортності, наявності крамниці неподалік та віддалі від міста (табл. 1). Згідно з аксіомою незалежності, вибір децидента не має залежати від значень критерію «Відстань від міста», якщо їх значення є рівними для всіх альтернатив. Але цілком можливою є ситуація, коли децидент обере альтернативу А, якщо за критерієм «Відстань від міста» обидва варіанти мають оцінку «Дача розташована близько від міста», і в той же час, якщо обидва варіанти мають за цим критерієм оцінку «Дача розташована далеко від міста», децидент обере альтернативу В.
Лотереї та побудова функцій корисності окремих критеріїв
Якщо виконано аксіоми першої групи та деякі з умов незалежності, то можна дійти висновку про існування багатокритерійної функції корисності певного вигляду.
Так, коли виконано умови незалежності за корисністю та перевагою, то згідно з теоремою Р. Кіні функція корисності адитивна чи мультиплікативна (7, 8),
На отриманому теоретичному результаті ґрунтується метод, що широко використовується для розв'язання практичних задач. Проілюструємо етапи застосування МАUТ у ситуації вибору майданчика для будівництва летовища.
У зв'язку зі зростанням кількості та розширенням географії авіаперевезень у певному місті наявні біля нього летовища не впораються із суттєвим зростанням кількості авіапасажирів, тому потрібно побудувати нове летовище, яке відповідало б зрослим потребам.
Експертна група, основне завданням якої - обрати місце для нового летовища, визначила такі три основні критерії, щоб оцінювати різні варіанти його розміщення:
вартість спорудження;
відстань від міста;
вплив шуму на людей, що мешкають поблизу летовища.
Бажано побудувати летовище із заданою пропускною здатністю за найменшу можливу вартість. Окрім того, потрібно, щоб переїзд пасажирів від летовища до міста й у зворотному напрямку займав якнайменше часу. Слід також мінімізувати кількість людей, що піддаються небажаним шумовим впливам. Звичайно ж, ці критерії суперечливі: спорудити летовище далеко від міста, імовірно, дешевше, хоча час поїздки в такому разі збільшується. Критерії відстані від міста й чисельності людей, які піддаються шумовим впливам, також суперечливі.
Ця задача має такі особливості. По-перше, вона слабоструктурована. Якщо задачі з об'єктивними моделями слід розв'язувати здебільшого методами дослідження операцій, то ті, що схожі на наведену, потребують іншого підходу. Хоча всі критерії мають цілком зрозумілий об'єктивний зміст, а оцінки за критеріями - кількісне вираження, немає єдиної кількісної моделі, яка описувала б проблему загалом. Є лише набір із трьох суб'єктивно визначених експертною групою критеріїв. Потрібно обрати ту із заданих альтернатив (місце для будівництва), для якої досягнуто найбажанішого з погляду експертної групи компромісу між критеріями. Для розв'язання таких задач будують моделі, що описують переваги децидента (експертної групи). Ці моделі допомагають зробити найкращий вибір.
Розглянувши критерії, експертна група визначила граничні межі зміни значень критеріїв (табл. 2). Це дає змогу почати будувати функцію корисності за кожним із критеріїв.
Таблиця 2. Діапазон змінення значень критеріїв спорудження летовища
Критерій |
Найгірше значення |
Найкраще значення |
Q1 - вартість спорудження летовища Q2 - час переїзду до міста Q3 - кількість людей, що піддаються впливу шуму |
400 млн дол. 90 хв 100 тис. |
200 млн. дол. 40 хв 10 тис. |
Максимальне значення функції корисності візьмемо рівним 1, а мінімальне — 0. Побудуємо функцію корисності для критерію Q1. Напочатку відомі дві точки функції корисності: U(200) = 1 та U(400) = 0 (рис. 12). Оскільки значення вартості потрібно мінімізувати, на осі абсцис значення вартості відкладено у зворотному порядку - від 400 до 200.
Для знаходження проміжних точок використовують лотереї. У лотереї 1 (рис. 13) децидент має знайти еквівалент визначеності для лотереї, яка має з однаковими ймовірностями 0,5 мінімальну та максимальну вартість спорудження.
Із цією метою децидентові послідовно надають значення з певним кроком, близьким до його роздільної здатності (наприклад, 240 млн дол., $260 млн.), і запитують, де, на його думку, еквівалент визначеності - вище чи нижче, ніж задане значення. Якщо децидент зупинився на значенні 320 млн дол., то доходять висновку, що значенню U1(Q1) = 0,5 відповідає 320 млн дол. Аналогічно знаходять інші значення функції корисності. Так, права лотерея на рис. 13 дає змогу визначити точку U1(260) = 0,85. Ідентично будують функції корисності для інших критеріїв. Потім перевіряють умови незалежності за корисністю та перевагою.
Перевірку умови незалежності за корисністю можна сумістити з попереднім етапом побудови однокритерійних функцій корисності.
На рис. 14 наведено процес проведення лотереї 1. Спочатку децидентові повідомляють, що, шукаючи еквівалент, він має взяти до уваги, що решта критеріїв мають найкращі значення. Потім перед ОПР ставлять ту саму задачу, але вже в припущенні, що всі інші критерії мають найгірші значення. Якщо еквівалент визначеності в обох випадках однаковий, то доходять висновку, що критерій не залежить за корисністю від інших критеріїв.
Для повноти перевірки умови незалежності за корисністю слід виконувати її для всіх лотерей. Проте в багатьох випадках проводять лише наближену перевірку — тільки для першої з лотерей, що використовуються для побудови однокритерійних функцій корисності.
Перевіряючи умови незалежності за перевагою, розглядають площини, де на осях подано значення двох критеріїв. Приклад такої площини для критеріїв Q2 та Q2 наведено на рис. 15. Спочатку припустімо, що інші критерії (тут - критерій Q3) мають найкращі значення (Q3 = 10).
Спочатку
децидент має визначити, якій із двох
альтернатив (
)
або (
)
він віддає перевагу. їм відповідають
точки
А
та
В
на рис. 15. Нехай децидент віддав
перевагу альтернативі
А
перед
В,
тобто критерій вартості важливіший для
нього, ніж критерій віддалі. Після цього
на осі Q1
децидент визначає точку
К, якій
відповідає таке значення критерію
,
що альтернативи
А
та
К
за умови Q3
= 10 еквівалентні, тобто (200, 90) ~ (
,
40). Потім процедуру повторюють за умови
Q3
= 100. Якщо в обох випадках одержано одне
й те саме значення
то критерії та Q2
незалежні за перевагою від критерію
Q3.
Для цілковитої впевненості умову незалежності за перевагою слід перевіряти для всіх пар критеріїв, хоча на практиці виконують наближену перевірку й обирають один або два найсуттєвіші критерії, а інші розглядають лише в парі з ними. Окрім того, для перевірки незалежності використовують граничні значення критеріїв, вважаючи, що цього достатньо, хоча інколи не завадило б перевірити і проміжні значення.
Коли деякі з умов незалежності не виконуються, завдання побудови загальної функції корисності суттєво ускладнюється. Єдиної відповіді про спосіб дій у цьому разі теорія не дає. Пропонується визначити групу незалежних критеріїв, важливості функції корисності для підгруп залежних і незалежних критеріїв із побудовою функції корисності «частинами» чи переформулювати завдання.
І нарешті, коли побудовано функцію корисності за окремими критеріями, перевірено умови незалежності, і вони виконуються (хоча б наближено), для побудови загальної функції корисності потрібно отримати значення коефіцієнтів шкалювання при часткових функціях корисності (коефіцієнти важливості критеріїв). Відношення між вагами критеріїв визначає децидент, шукаючи точки байдужості на площинах пар критеріїв. При цьому, на відміну від перевірки умов незалежності за перевагою, значення критеріїв упорядковують від гірших до кращих.
Розглянемо площину критеріїв (Q1, Q2), зображену на рис. 16. Альтернативи А та К перебувають у відношенні байдужості, яке визначають так само, як і в разі перевірки умови незалежності за перевагою.
У точці рівноваги U(400, 40) = U(340, 90), тобто корисності альтернатив однакові. Звідси, використавши одержані раніше однокритерійні функції корисності, знайдемо λ2=0,4λ1
Аналогічно визначимо відношення між вагами критеріїв Q1 та Q3 унаслідок чого отримаємо λ3 = λ1, U(300) = 0,6λ1. Отже, ваги всіх критеріїв виражено через вагу найважливішого з них, і критерії впорядковано за важливістю.
На відміну від прикладу 1, у якому для остаточного обчислення значень коефіцієнтів шкалювання використано умову нормування, застосуємо трохи інший підхід, що ґрунтується на одержанні надлишкової інформації. Через це може бути порушена умова нормування. Для знаходження значення ваги критерію (і, отже, усіх критеріїв) дециденту пропонується порівняти дві стратегії (рис. 17) і знайти значення імовірності р за якого обидві стратегії рівнозначні.
Після порівняння від децидента отримано значення р = 0,55. Оскільки U(А) = U(В), то λ1 = р = 0,55, λ2 = 0,22, λ2 = 0,33. Тут умову нормованості коефіцієнтів шкалювання трохи порушено, тобто їх сума становить 1,1. У цьому разі, оскільки відхилення невелике, можна безпосередньо використовувати загальну функцію корисності з визначеними коефіцієнтами шкалювання чи, якщо потрібно, уточнити їх значення в повторному діалозі з децидентом.