40) Угол между плоскостями

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е. 

40.Условие ортогональности 2-х плоскостей. две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно,  или  .

Таким образом,  . 41. Задача о вычислении угла, образованного пересекающимися плоскостями Две пересекающиеся плоскости образуют две пары смежных углов. Меньший из смежных углов называется углом между плоскостями.

Пусть пересекающиеся плоскости заданны следующими уравнениями:

 и 

тогда угол между плоскостями вычисляется по следующей формуле:

42.Векторно-параметрическое уравнение прямой в пространстве. где   - фиксированная точка, лежащая на прямой;   - направляющий вектор.

     В координатах (параметрические уравнения):

43.Каноническое уравнение прямой в пространстве.

44.Векторное уравнение прямой в пространстве. ;

45.Уравнение прямой на плоскости. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении.

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x+ B y+ C= 0 ,где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y = k x+ b,где k- угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x	+	y	= 1
a		b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки A(x₁, y₁) и B(x₂, y), такие что x₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂ то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

   Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.

46.Взаимное расположение прямых на плоскости

Прямые l₁ и l₂ либо совпадают, либо параллельны, либо пересекаются в одной точке, либо скрещиваются (т.е. не лежат в одной плоскости). Покажем, как распознать эти четыре случая. Отметим, что в первых трёх случаях прямые l₁ и l₂ лежат в одной плоскости. 1)Прямые l1 и l2 лежат в одной плоскости ⇔ три вектора A₁ A₂ ,s₁ и s₂ компланарны ⇔ их смешанное произведение равно нулю: ₍A₁A₂ s₁ s₂)=0 2)Прямые l₁ и l₂ совпадают ⇔ три вектора A₁ A₂ ,s₁ и s₂ коллинеарные, т.е. их координаты пропорциональны.

3) Прямые l₁ и l₂ параллельны ⇔ векторы s₁ и s₂ коллинеарны, т.е. их координаты пропорциональны, но они не коллинеарны вектору A₁ A₂.

4) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в одной точке ⇔ три вектора A₁ A₂ ,s₁ и s₂ компланарны, т.е. ₍A₁A₂ s₁ s₂)=0, но векторы s₁ и s₂ не коллинеарны, т.е. их координаты не пропорциональны.

5) Прямые l₁ и l₂скрещиваются, т.е. они не лежат в одной плоскости⇔ три вектора A₁ A₂ ,s₁ и s₂ не компланарны ⇔ их смешанное произведение не равно нулю: ₍A₁A₂ s₁ s₂)≠0 47.Условия параллельности и ортогональности прямых на плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов   и  :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда   параллелен  .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:  .

48.Угол между прямыми на плоскости. y= , y= Обозначим через угол ψ,отсчитываемый от первой прямой ко второй в том направлении, в котором производиться кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму; ( если знаменатель 0,то прямые перпендикулярны) Две прямые параллельны, если k₁ = k₂ . Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂ .