1. Векторы. Операции, свойства

Операции: 1)сложение (правило цепочки, параллелограмма, параллелепипеда)

1) вычитание –не является отдельной операцией,это всего лишь вид сложения,Герман)

3) умн. на число

2) Опр. линейной зависимости векторов

Система векторов   называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов   , из которых хотя бы один отличен от нуля, что 

3) Опр. линейной независимости векторов.

 Система векторов   называется линейно независимой, если равенство   возможно только при   .         

4) Теоремы о линейной зависимости векторов.

Т1. Если в сист. х1,…хn хоть один элемент равен нулю, то система линейно-зависима.

Д-во: сост. лин. комб., которая будет нетрив. и равно нулю.

Пусть х1=0, тогда @1=12, @2=@3=@n=0

@1*x1(=0)+….=0

Т2. Если система х1..хn содержит лин-зав. подсистему х1..хm (m<n), то исходная система тоже линейно-зависима.

5)Базис в пространстве. Декартов базис.

Если векторы  ,  ,   взаимно ортогональны и по модулю равны единице, то они называются ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам базис ортонормированным декартовым базисом. Орты декартовой системы координат обычно обозначают как  ,  ,  .

Тройка векторов наз. ПРАВОЙ, если с конца в.С поворот по наим.углу от в. А к в.Б видел против час.стрелки.

6) Декартова система координат

-наз. совокупность фиксированной точки и ортонормированного базиса.

ОМ- радиус-вектор ДСМ

7)Проекция вектора на ось.

Ось-прямая линия с указ. на ней направлением и с нач.отсчета

Прокцией вект.а на ось l – длина вект.а, начало и конец которого получены с помощью проектирования на ось l начала и конца а. Если проекция а и ось колл., то проекция «+»

Если неколлинеарны, то проекция с «-».

Углы, образ а и осями. Кос этих углов- направляющие косинусы.( являются координатами ортовектора).

8)Геом. смысл координат вектора.

9) Геометрический смысл линейной зависимости 2-х векторов

Система векторов  и  линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Пусть система векторов  , } линейно зависима, докажем, что  || .

   По 1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"свойHYPERLINK "http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"сHYPERLINK "http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"тHYPERLINK "http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"вHYPERLINK "http://gm.chgpu.edu.ru/ebook/1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"у  хотя  бы один из векторов   или  выражается через другой, пусть  = α, но это  в силу определения коллинеарных векторов приводит к коллинеарности векторов  || .

10) Геометрический смысл линейной зависимости трёх векторов.

Система векторов   и  линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство.

1. Прямо.

Пусть система ,  и  линейно зависима. Докажем, что  ,  и  - компланарны.

В силу линейной зависимости имеем α +β +γ  = , причем хотя бы одно из

 α,β,γ ≠ 0.   ( * )

Если хотя бы один из  α,β,γ = 0, то получим, например в случае γ = 0: α +β =  , т.е.

 = -  т.е. по 1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"теореме 8 следует, что   || , но тогда  ,  и  - компланарны.

Пусть  α ≠ β ≠ γ  ≠ 0 . Отложим от точки O вектор  = α, затем от А вектор  = β, тогда

               α + β = .

В силу 1_EG/Pt_1_Ch_1_High_Geomerty/Soderjanie/%D0%93%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%B0%201.%20%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%8B%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B9%20%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5/Paragraf6.htm"( * ):    = - γ .

Через точки O, A и B  проходит плоскость (OAB).

Т.к. α ≠ β ≠ γ ≠ 0, то из равенств  = α,  = β  и  = - γ   следует, что  ,  и   ей параллельны, т.е. они компланарны.

Можно доказать и обратное.

11) Линейной зависимость 4х векторов

Теорема о линейной зависимости 4-х векторов:векторы  линейно зависимы в пространстве. Доказательство: а)  - некомпланарны, тогда по лемме 2 о разложении  , то по критерию о линейной зависимости  линейно зависимы. б)  - компланарны, тогда по теореме о линейной зависимости 3-х векторов  - линейно зависимы, тогда по теореме о линейно зависимой подсистеме  линейно зависимы.

12) Скалярное произведение векторов. Определение.

а на б –это число, равное произ-ю длин перемножаемых векторов на кос. угла между ними.

13) Свойства скалярного произведения

а перпенд. b a*b=0

a*a=|a|^2 a^2=0 a=0

cos(a,b)= a*b/ |a|*|b|

14) Вычисление угла между векторами

Угол между векторами — угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°]. Угол между векторами   обозначается так:  . Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90º. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0^о. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180º. Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (x₁; y₁) и (x₂; y₂) вычисляется по формуле: x₁x₂ + y₁y₂).

15) Формула вычисления длины вектора через скалярное произведение