12.Скалярное произведение векторов. Определение.

Определение1:

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по определению .

Определение2:

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом.

Формулу для вычисления скалярного произведения можно записать в виде , где - числовая проекция вектора на направление вектора , а - числовая проекция вектора на направление вектора .

Таким образом, можно дать еще одно определение скалярного произведения двух векторов.

Определение3:

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора или произведение длины вектора на числовую проекцию вектора на направление вектора .

13. Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1. свойство коммутативности скалярного произведения ;

2. свойство дистрибутивности или ;

3. сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

4. скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По определению и . В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо и , тогда . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть, и , откуда следует

14.Вычисление угла между векторами.

Косинус угла между векторами и , а значит и сам угол, в общем случае может быть найден либо с использованием скалярного произведения векторов, либо с использованием теоремы косинусов для треугольника, построенного на векторах и .

Разберем эти случаи.

По определению скалярное произведение векторов есть . Если векторы и ненулевые, то можно разделить обе части последнего равенства на произведение длин векторов и , и мы получим формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами: . Эту формулу можно использовать, если известны длины векторов и их скалярное произведение.

15. Формула вычисления длины вектора через скалярное произведение.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам используем формулы или , по координатам точек начала и конца вектора - или

16. Формула длины вектора в декартовом базисе.

Длина вектора в декартовом базисе в пространстве находится

по формуле:

P.S – В билете не указано указать длину вектора где именно, поэтому написал 2 формулы на всякий случай.

17. Условие ортогональности 2-х векторов.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

 

 

18. Скалярное произведение векторов в декартовом базисе.

Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosφa,b.

Свойства скалярного произведения: 1. коммутативность: (a,b)=(b,a) 2. (а,а)=|а|2 3. (a,b)=0 <=> a   b 4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b) 5. (а, λ·b)= λ·(a,b)   λ   R.

Утверждение 1 :: В декартовом базисе, если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.