Кванторы

Когда возникает необходимость выразить какие-либо свойства, общие для целого множества объектов, используют кванторы. В логике предикатов таких кванторов два:,.

Квантор общности . Смысл квантора общности совпадает с выражением естественного языка «для всех». То есть, если имеется некоторое знание, применимое для любого объекта определённого типа, то вместо перечисления всех таких объектов можно использовать квантор общности. Например, тот факт, что для успешной учебы студенту необходимо вовремя получать зачеты можно выразить следующим образом:

(x)студент(x)вовремя_сдает_зачеты(x)успешно_учится(x).

Квантор существования . Если возникает необходимость выразить знание об отдельном объекте из какой-либо совокупности, используютквантор существования. Квантор существования произносится на естественном языке как «существует». Например, на любом факультете университета учится хотя бы один отличник. Эта фраза на языке предикатов выглядит следующим образом:

 (x)факультет(x)(y)учится(y,x)отличник(y).

Взаимосвязь между кванторами. Считают, то квантор связывает переменные, которые записываются за знаком квантора в скобках. Поэтому их называютсвязанными. Переменные же, которые ни один квантор не связывает, называют свободными. Взаимосвязь между кванторами существования и общности можно легко выразить с помощью связки отрицанияи она основана на следующем соображении: если про любой объект из совокупности можно сказать, что он не обладает заданным свойством, то не существует объекта, обладающего этим свойством. Например, очевидно, что «у любой лошади нет крыльев, значит, не существует лошади, у которой есть крылья». Обозначим любую переменную символомх, а любую формулу, содержащую эту переменную –Р(х), тогда справедливы следующие законы:

(х)Р(х)(х) Р(х),

(х) Р(х)(х)Р(х),

(х) Р(х)(х)Р(х),

(х)Р(х)(х) Р(х).

Равенство

Равенствоявляется атомом особого типаТерм=Термили =(Терм,Терм). Равенство означает, что оба терма в атоме соответствуют одному и тому же объекту. Не следует путать предикат равенства с операцией присваивания. В следующей таблице раскрыт смысл равенства для различных термов, гдеX,Yобозначают константы,x,y– переменные, аF(x) – функция:

X = Y	Истинно, если константы именуют один и тот же объект
x = Y	Истинно, если значение переменной равно константе
x = y	Истинно, если значения переменных совпадают
X = F(Y)	Истинно, если значение функции совпадает с константой
X = F(y)
x = F(Y)	Истинно, если значение функции совпадает со значением переменной
x = F(y)

Аксиомы, теоремы, факты и цели

В логике высказываний были введены понятия интерпретация, общезначимость, модель и выводимость. Аналогичные понятия есть и в логике предикатов.Аксиомаминазывают такие формулы, для которых среда является моделью при всех интерпретациях, или формулы, которые истинны при любых значениях входящих в них переменных. Аксиомы, являющиеся литералами (атомы с отрицанием или без), все аргументы которых константы, называютфактами. Аксиомы не являющиеся фактами называютправилами. Основная задача в логике предикатов – вывод на основании истинных фактов и правил целевых формул, называемыхтеоремами.